Problema de Fermi-Pasta-Ulam: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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== O Problema ==
== O Problema ==


O Problema proposto constitui-se de simulações em uma rede de part´ıculas ligadas entre si através de molas que obedecem a Lei de Hooke com uma correção não-linear quadrática ou cúbica <ref name= FPU> http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf - Fermi, Pasta, Ulam, Studies of non linear problems</ref>
O Problema proposto constitui-se de simulações em uma rede de partículas ligadas entre si através de molas que obedecem a Lei de Hooke com uma correção não-linear quadrática ou cúbica <ref name= FPU> http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf - Fermi, Pasta, Ulam, Studies of non linear problems</ref>


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A lei de forças que rege o comportamento deste sistema é:
A lei de forças que rege o comportamento deste sistema é:


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<math> F = -k \Delta x - \alpha k \Delta x^2 - \beta k \Delta x^3 </math>.


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Onde <math> \Delta x </math> e a deformação a cada 2 massas acopladas (<math> x_{i+1} - x_i </math>), <math> k </math> é a constante elástica da mola, <math> \alpha </math> é um parâmetro de deformação arbitrário que controla a correção não linear quadrática e <math> \beta </math> é o parâmetro que controla a correção cúbica. Importante ressaltar que se <math> \alpha </math> é possuir assumir um valor não nulo, real, <math> \beta </math> é igual a zero no nosso sistema, ou vice-versa. Não estamos analisando correções quadráticas somadas com correções cúbicas neste trabalho.


<math> teste = teste </math>
=== Motivação: O que era esperado e o paradoxo XXX ===


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Escrever a motivação ...


== TITULO 1 ==  
== Discretização ==
 
A discretização deste problema gira em torno de abrir a equação das forças, e com o termo de aceleração, iterar o movimento das partículas a partir disso <ref name=wiki>https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi%E2%80%93Pasta%E2%80%93Ulam%E2%80%93Tsingou_problem</ref>. Partimos do problema com correção quadrática, ou seja, <math> \beta = 0 </math>. Partindo de:
 
<math> F = -k \Delta x - \alpha k \Delta x^2 </math>,
 
subtituímos pelas variáveis discretas:
 
<math> m \ddot{x_j} = -k \left( (x_{j+1} - x_j) - (x_j - x_{j-1}) \right)  - \alpha k \left( (x_{j+1} - x_j) - (x_j - x_{j-1}) \right) </math>,
 
Chegamos em:
 
<math> m \ddot{x_j} = k \left( x_{j+1} - 2x_{j} + x_{j-1} \right) \left[ 1 + \alpha \left( x_{j+1} - x_{j-1} \right) \right]  </math>
 
Em que <math> \ddot{x_j} </math> é a aceleração da j-ésima partícula, com ela conseguimos integrar o movimento das partículas.
 
 
 
== Implementação ==
 
Usamos XX partículas, com modo de oscilação YY
 
 
== Resultados ==


<center><math> \nabla^2\Phi = 0 </math>.</center> equações


== TITULO 2 ==


=== SUBTITULOS ===
=== SUBTITULOS ===

Edição das 18h49min de 24 de maio de 2021

Grupo: Augusto M Giani e Henrique Padovani

O objetivo deste trabalho é replicar os resultados do problema proposto por Fermi-Pasta-Ulam em 1953 [1] sobre sistemas dinâmicos não lineares. As análises serão sobre a solução dos modos de vibração comparados à solução analítica para poucas massas e também sobre a energia do sistema para os modos de oscilação, enquanto o sistema evolui no tempo.

O Problema

O Problema proposto constitui-se de simulações em uma rede de partículas ligadas entre si através de molas que obedecem a Lei de Hooke com uma correção não-linear quadrática ou cúbica [2]

  • Figura 1. Problema de Fermi-Pasta-Ulam, molas acopladas.

A lei de forças que rege o comportamento deste sistema é:

.

Onde e a deformação a cada 2 massas acopladas (), é a constante elástica da mola, é um parâmetro de deformação arbitrário que controla a correção não linear quadrática e é o parâmetro que controla a correção cúbica. Importante ressaltar que se é possuir assumir um valor não nulo, real, é igual a zero no nosso sistema, ou vice-versa. Não estamos analisando correções quadráticas somadas com correções cúbicas neste trabalho.

Motivação: O que era esperado e o paradoxo XXX

Escrever a motivação ...

Discretização

A discretização deste problema gira em torno de abrir a equação das forças, e com o termo de aceleração, iterar o movimento das partículas a partir disso [3]. Partimos do problema com correção quadrática, ou seja, . Partindo de:

,

subtituímos pelas variáveis discretas:

,

Chegamos em:

Em que é a aceleração da j-ésima partícula, com ela conseguimos integrar o movimento das partículas.


Implementação

Usamos XX partículas, com modo de oscilação YY


Resultados

SUBTITULOS

negrito, Simultaneous OverRelaxation


  • Problema da borda carregada eletricamente.
  • Gráfico da solução analítica somando até o termo n=199.


### Exemplo da evolução temporal no método de relaxação ###
### Exemplo para o algoritmo de jacobi, Equação de Laplace ###
# P é a matriz do potencial no tempo n
# Q é a matriz do potencial no tempo n+1

while t < tmax: # Loop temporal
  
  for i in range(1,L+1):  # Loop em x
    for j in range(1,L+1): # Loop em y
      Q[i][j] = (P[i+1][j] + P[i-1][j] + P[i][j+1] + P[i][j-1])/4 
  
  P = Q.copy()
  t = t + td

plt.plot(x,y,P) # plotagem dos gráficos


Solução numérica do problema da borda carregada.


  • Erro relativo médio para a solução de Gauss-Seidel para várias iterações.

Link para Códigos

Fizemos no ambiente Colab em .ipynb, segue link do github:[1]

Referências

  1. ANDRADE, D. X.; ANJOS, P. H. R.; ASSIS, P. E. G.. Sobre a conexão entre alguns modelos físicos não-lineares. Rev. Bras. Ensino Fís., São Paulo , v. 39, n. 1, e1307, 2017 . Disponível em <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172017000100407&lng=pt&nrm=iso>. http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-rbef-2016-0083.
  2. http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf - Fermi, Pasta, Ulam, Studies of non linear problems
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi%E2%80%93Pasta%E2%80%93Ulam%E2%80%93Tsingou_problem