Exibir código-fonte para Problema de Fermi-Pasta-Ulam

'''Grupo: Augusto M Giani e Henrique Padovani'''

O objetivo deste trabalho é replicar os resultados do problema proposto por Fermi-Pasta-Ulam em 1953 <ref name=andrade>ANDRADE, D. X.; ANJOS, P. H. R.; ASSIS, P. E. G.. Sobre a conexão entre alguns modelos físicos não-lineares. Rev. Bras. Ensino Fís.,  São Paulo ,  v. 39, n. 1,  e1307,    2017 .   Disponível em <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172017000100407&lng=pt&nrm=iso>. http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-rbef-2016-0083.</ref>  sobre sistemas dinâmicos não lineares. As análises serão sobre a solução dos modos de vibração comparados à solução analítica para poucas massas e também sobre a energia do sistema para os modos de oscilação, enquanto o sistema evolui no tempo.

== O Problema ==

O Problema proposto constitui-se de simulações em uma rede de partículas ligadas entre si através de molas que obedecem a Lei de Hooke com uma correção não-linear quadrática ou cúbica <ref name= FPU> http://www.physics.utah.edu/~detar/phys6720/handouts/fpu/FermiCollectedPapers1965.pdf - Fermi, Pasta, Ulam, Studies of non linear problems</ref>

<center><div><ul> 
<li style="display: inline-block;"> [[Arquivo:Springs.png|thumb|437px|Figura 1. Problema de Fermi-Pasta-Ulam, molas acopladas<ref name= FPU>https://www.respondeai.com.br/conteudo/fisica/mhs-e-mha/oscilacoes-acopladas/951</ref>.]] </li>
</li>
</ul></div></center>

A lei de forças que rege o comportamento deste sistema é:

<math> F_{i} = -k \Delta x - \alpha k \Delta x^2 - \beta k \Delta x^3 </math>.

Onde <math> \Delta x </math> e a deformação a cada 2 massas acopladas (<math> x_{i+1} - x_i </math>), <math> k </math> é a constante elástica da mola (aqui considerado, <math> \alpha </math> é um parâmetro de deformação arbitrário que controla a correção não linear quadrática e <math> \beta </math> é o parâmetro que controla a correção cúbica. Importante ressaltar que se <math> \alpha </math> assumir um valor não nulo, real, <math> \beta </math> é igual a zero no nosso sistema, ou vice-versa. Não estamos analisando correções quadráticas somadas com correções cúbicas neste trabalho.

=== Motivação ===

'''O paradoxo Enrico Fermi, John R. Pasta, Stanislaw M. Ulam e Mary Tsingou'''<ref name= FPUT1> https://www.scielo.br/j/rbef/a/SkRCy5fdnGbhfxNjpx5BkRD/?format=pdf&lang=pt - O problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou: Equiparticão de
energia vista através de simulações computacionais </ref>

A premissa inicial do paradoxo de FPUT consiste no Teorema da Equipartição de Energia. O sistema consistia em uma corrente de partículas, com as extremidades fixas, que interagiam entre seus vizinhos somente com forças elásticas (as forças teriam um termo linear como a Força de Hooke e mais um termo não-linear, podendo ser quadrático ou cúbico). Era esperado que a energia total fosse distribuída igualmente entre as partículas. No caso em questão, a distribuição de energia entre as partículas pode ser descrita através dos seus modos normais de vibração. 

A análise do problema gerou um paradoxo que começaria a ser respondido somente 10 anos depois, o que ajudou no desenvolvimento das teorias de sólitons e do caos. Pretendia-se observar a distribuição uniforme de energia entre os diversos modos normais de vibração com o passar do tempo (ao longo das iterações da simulação computacional). Isso significaria que o sistema alcançou um equilíbrio térmico e seria uma exemplificação computacional do Teorema de Equipartição de Energia.  Caso as forças entre as partículas fossem estritamente lineares, isso não ocorreria, pois a energia alocada em cada modo não conseguiria acessar outros modos. Imaginava-se que uma componente não-linear na força tornaria acessível qualquer modo de vibração, porém não foi o observado.

A princípio, foi observada a tendência do sistema de distribuir a energia. O primeiro modo de vibração antes estimulado, perdeu energia ao longo do tempo, a qual começou a se alocar nos modos de energia mais baixos. Entretanto, por um descuido, deixaram a simulação decorrer por um tempo maior do que era planejado. Ao retornar ao laboratório para corrigir tal erro, se depararam com um resultado inesperado. A energia, que supostamente deveria estar igualmente partilhada entre os modos de vibração, estava quase completamente alocada no primeiro modo de vibração. De fato, somente 3% da energia não estava presente no primeiro modo. Devido a esta observação, deixaram a simulação correr por ainda mais tempo. Notaram, então, que existia
um ciclo, no qual a energia saía do primeiro modo de vibração, começava a se distribuir nos modos mais baixos, para, por fim, voltar quase que inteiramente para o primeiro modo de vibração. Contudo, em 2015, relatou-se que o sistema FPUT poderia atingir equipartição de energia pelo menos entre modos normais livres (interação entre três fônons).

== Discretização == 

A discretização deste problema gira em torno de abrir a equação das forças, e com o termo de aceleração, iterar o movimento das partículas a partir disso <ref name=wiki>https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi%E2%80%93Pasta%E2%80%93Ulam%E2%80%93Tsingou_problem</ref>. Partimos do problema com correção quadrática, ou seja, <math> \beta = 0 </math>. Partindo de:

<math> F_{i} = -k \Delta x - \alpha k \Delta x^2 </math>, 

substituímos pelas variáveis discretas:

<math> m \ddot{x_j} = -k \left( (x_{j+1} - x_j) - (x_j - x_{j-1}) \right)  - \alpha k \left( (x_{j+1} - x_j)^2 - (x_j - x_{j-1})^2 \right) </math>, 

Sendo que as partículas de índice zero e N estão fixas, Chegamos em:

<math> m \ddot{x_j} = k \left( x_{j+1} - 2x_{j} + x_{j-1} \right) \left[ 1 + \alpha \left( x_{j+1} - x_{j-1} \right) \right]  </math>,

Em que <math> \ddot{x_j} </math> é a aceleração da j-ésima partícula, com ela conseguimos integrar o movimento das partículas.

A Energia do sistema é calculada para cada ciclo de oscilação, porém para obtermos os resultados dos modos de oscilação e compararmos com os estudos atuais e o original de de FPUT, calculamos a energia dos primeiros modos de vibração da corda para demonstrar o comportamento visivelmente periódico destas energias. É possível calcular a energia dos modos de vibração através da equação:

[[Arquivo:Eq1.PNG|350px]]

em que <math> a</math> é o vetor das posições projetado num vetor de um seno com a frequência do modo que queremos plotar:

[[Arquivo:Eq2.PNG|120px]]

e:

[[Arquivo:Eq3.PNG|150px]]

<math>N</math> é o número de partículas e <math>\omega_i = \sqrt{\frac{k}{m}} </math>

== Resultados ==

O sistema foi iniciado com o modo normal de oscilação 1 (seno com frequência <math>\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>), com velocidades iniciais igual a zero de cada partícula. O movimento começa apenas pelas forças já presentes entre cada partículas, pelas equações apresentadas acima. 

[[Arquivo:Estado inicial das particulas.png|center|thumb|500px|legenda.]]

Segue abaixo a evolução do sistema ao longo do tempo, apenas para gerar o .gif considerando: 

<math>
\begin{cases}

\alpha = 1,2 \\
k = 0,95 \\
m = 1,05 \\
N = 30  \\
t_{max} = 4000 \\

\end{cases}
</math>

[[Arquivo:Corda final.gif|center|thumb|500px|Simulação FPU para o problema proposto.]]

Já os resultados das energias, consideramos todas constantes iguais à 1, mais de 100 partículas e o número de iterações está em cada imagem. Procedemos de duas formas: calculamos a porcentagem de cada modo normal de oscilação pela Transformada de Fourier (para selecionar as frequências que estavam presentes na oscilação, sem calcular as energias), o que apresentou um comportamento muito similar às energias calculadas pela soma de energias cinética e potencial:

[[Arquivo:Energias fft.jpeg|thumb|700px|center|Porcentagem de cada modo vibracional ao longo do tempo. A escala do tempo foi reduzida em 20 vezes para melhor apresentação do gráfico.]]

E também calculamos pela equação de energia citada acima, obtivemos os seguintes comportamentos: 

<center><div><ul> 
<li style="display: inline-block;"> [[Arquivo:Energias certo1.jpeg|500px|thumb|Energias por modo de oscilação. A escala do tempo está aumentada em 2 vezes.]]</li>
<li style="display: inline-block;"> [[Arquivo:Energias certo2.jpg|520px|thumb|Energias por modo de oscilação com fft. A escala do tempo está aumentada em 5 vezes.]]</li>
</ul></div></center>

A expressão utilizada para calcular estas energias foi a memsa citada anteriormente:

== Discussões ==

Como o intuito era replicar os resultados e o comportamento das energias através da simulação com dinâmica molecular, obtivemos resultados muito parecidos comparando estudos já realizados sobre este problema <ref name=FPUT1></ref>.

A questão de simular a energia usando a porcentagens dos senos também faz sentido pensando ''quanta contribuição'' o modo normal de oscilação tem no movimento atual, como pudemos ver que o comportamento foi bem similar ao das energias calculadas.

== Implementação ==

Implementamos a iteração do movimento das partículas por Velocity-Verlet.

A questão de variar os parâmetros do problema, como já mencionado previamente nesta wiki, e também apresentado nos gráficos e no gif, vimos que não interferia muito no caráter dos resultados (e o quanto isso poderia influenciar no paradoxo de equipartição de energia), porém o fizemos para gerar imagens melhores e o gif com menos de 2 MB.

<source lang="haskell" line='line'>
### Exemplo da iteração do movimento utilizando forcacom correção quadrática ###
### código em python

def aceleracao(pos,alpha,k,massa):
    size = len(pos)
    acel = [0.0 for i in range(size)]
    for i in range(1,size-1):
        acel[i] = (k/massa) * ((pos[i+1] + pos[i-1] - 2*pos[i]) * ( 1.0 + alpha*(pos[i+1]-pos[i-1]) ) )
    return acel

def velocidade(velo, acel, dt):
    size = len(velo)
    new_velo = [0.0 for i in range(size)]
    for i in range(size):
        new_velo[i] = velo[i] + 0.5*acel[i]*dt
    return new_velo

def posicao(pos, velo, dt):
    size = len(posY)
    new_posY = [0.0 for i in range(size)]
    for i in range(size):
        new_posY[i] = posY[i] + new_veloY[i]*dt
    return new_posY

N = número de partículas
dt = 0.2
x = np.linspace(0, x_final, dt)
pos = np.sin( 2*x*pi / (N*dt))

while t < tmax: # Loop temporal
     
    plt.scatter(x,pos) # plotagem dos gráficos
    acel = aceleracao(pos_old,alpha,k,massa)
    velo = velocidade(veloY, new_aceY,dt)
    pos  = posicao(posY_old, veloY, dt)
    calcula_energias(pos)
  
  pos_old = pos.copy()  #sem ".copy()" o python usa o mesmo endereço de memória para 2 variáveis
  t = t + td

gera_gif()
</source>

== Link para Códigos ==

Fizemos no ambiente Colab em ''.ipynb'', segue link do github:[https://github.com/padovanih/Fermi-Pasta-Ulam]

== Referências == 

<references/>