Mudanças entre as edições de "Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações"

De Física Computacional
Ir para: navegação, pesquisa
(Etapa 2: Cálculos iniciais necessários)
(Etapa 2: Cálculos iniciais necessários)
Linha 96: Linha 96:
 
Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:
 
Para calcular a ''Taxa de Retorno Diária'' fazemos:
  
Taxa\:de\:Retorno\:Diária\:=\:\frac{Taxa\:Anual\:de\:Retorno}{No.\:Dias\:de\:Compra\:e\:Venda}
+
<math>Taxa\:de\:Retorno\:Diária\:=\:\frac{Taxa\:Anual\:de\:Retorno}{No.\:Dias\:de\:Compra\:e\:Venda}</math>
  
 
== Discussão ==
 
== Discussão ==

Edição das 03h12min de 10 de maio de 2022

Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

Mercado de ações

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo: Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não. Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

Figura 1: Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).

Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de corpúsculos biológicos e partículas inorgânicas suspensas em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano [1]. Acreditava-se que esse movimento aleatório tratava-se de uma nova forma de vida. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. Não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que o movimento das partículas suspensas em água se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo (?)[2]. Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 [3], com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados [4][5]. Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana.

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Sua dedução pode ser encontrada em [6]. Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

Onde é processo estocástico, um processo de Wiener, é percentagem de deriva ou deslocamento e percentagem de volatilidade são constantes.

Sua solução é dada por:

Tal como MB é um processo de Markov, o movimento browniano geométrico também é: o futuro é determinado a partir do presente e não de eventos passados.

Aplicação: Mercado Financeiro

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde. O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) [7].

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais. Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:

  • Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. [8].
  • Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
  • Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível [9]. O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano [10]  ?

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

Onde é o valor futuro da ação, é o valor inicial da ação, é o deslocamento (“drift”) diário, é a volatilidade diaria e é o processo de Wiener.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana (similar ao mercado de ações real[ref]), gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não tem os “jumps” eventos maiores afetando o cenário (o caminho não é descontínuo) [11]

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, o modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica[12].

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

Simulações

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento provável do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

Etapa 1: Adquirir os dados

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

Figura 2: Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.

Etapa 2: Cálculos iniciais necessários

Precisamos da Taxa de Retorno Diária, Volatilidade Diária e Desvio Médio para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

Mundo Financeiro Movimento Browniano Geométrico
Taxa de Retorno Diária
Volatilidade Diária
Desvio Médio

Para calcular a Taxa de Retorno Diária fazemos:

Falhou ao verificar gramática (Erro léxico):

Discussão

Referências

  1. R. Brown, Phil. Mag. 4, 161 (1828).
  2. A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).
  3. A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, 549 (1905).
  4. Wilmott, P., 2000. Quantitative Finance. John Wiley & Son, Ltd, Chichester
  5. A Review on Geometric Brownian Motion in Forecasting the Share Prices in Bursa Malaysi
  6. Bess, Denis Fernandes Alves. Generalizações do Movimento Browniano e suas Aplicações à Física e Finanças. 2005. Dissertação de mestrado. Universidade Estadual Paulista. Página 122.
  7. https://blog.toroinvestimentos.com.br/empresas-listadas-b3-bovespa#:~:text=A%20B3%2C%20conhecida%20anteriormente%20como,mais%20de%20100%20empresas%20estrangeiras. Acesso em: 30 de abril de 2022.
  8. NurAimiBadriah, N, SitiNazifah, Z. A. and Maheran, M. J., Forecasting Share Prices Accurately For One Month Using Geometric Brownian Motion, 26 (4): 1619 - 1635 (2018).
  9. Kobeissi Y. H, Multifractal Finance Markets: An Alternative Approach to Asset and Risk Management, springer, New York. (2012).
  10. Farida Agustini W, IkaRestuAffianti, Endah RM Putri, Stock price prediction using geometric Brownian motion, International Conference on Mathematics: Pure, IOP -974 012047(2018).
  11. Caesar Wu, Rajkumar Buyya. Chapter 18 - Real Option Theory and Monte Carlo Simulation. Cloud Data Centers and Cost Modeling. 2015. Pages 707-772. ISBN 9780128014134. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-801413-4.00018-0.
  12. Black and Scholes, 1973; Merton, 1973