Mudanças entre as edições de "Modelos Epidemiológicos"

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'''Em construção'''
 
 
 
Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato
 
Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato
  
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O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.
  
O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.
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Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.  
 
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Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.  
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== Introdução ==
 
== Introdução ==
  
O '''objetivo''' do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.
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A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>
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A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.
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O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.
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Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.
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É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.
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<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
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<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
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</ul></div>
  
O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha fazer a quarentena dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha pela quarentena está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para realizar a simulação os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.
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No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.
  
Neste trabalho, a escolha do indivíduo pela quarentena se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] -, enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR tal como na referência citada. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.
 
 
 
O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.
 
O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.
  
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* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.
 
* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.
  
* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro R recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.
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* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.
  
A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estás quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferencias que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:
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A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:
  
 
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O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.
 
O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.
  
A população total no SIR é constante, e pode ser expressa pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos. Abaixo segue a expressão:  
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A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:  
  
 
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A taxa de transmissão da doença é dada pela variável beta, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por Tau, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por "c barra". Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:
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A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:
  
 
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A taxa de remoção da doença, indicada por γ, é o inverso do período infeccioso, indicada por d, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.
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A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.
  
 
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==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====
 
==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====
  
O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contagiadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.
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O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.
  
<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} S_0 \qquad (8) </math>
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<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>
  
 
Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:
 
Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:
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* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.
 
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.
  
Podemos interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando o comportamento da curva I(S), para obter essa função iremos dividir a expressão (2) pela expressão (1) e posteriormente integrar ambos os lados da igualdade, desta forma chegamos em:
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Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with differential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:
  
<math> I(S) = \frac{\gamma}{\beta}lnS -\frac{\gamma}{\beta}lnS_0 -S +I_0 +S_0 \qquad (9) </math>
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<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>
  
Derivando a expressão (9) em relação a S observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando S = γ/β. Nas situações em que temos S < γ/β e S > γ/β, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função I(S). Na sequência é plotada a curva I(S) para diferentes valores de <math> S_0 </math>. Observe que o sentido da abscissa S é negativo para o avanço da pandemia.
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Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.
  
Figura
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[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]
  
Quando a condição inicial <math> S_0 </math> está a direita da reta S = γ/β a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior que um. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a γ/β, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial <math> S_0 </math> está a esquerda da reta S = γ/β a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é menor do que um.
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Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:
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[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]
  
 
=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===
 
=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===
  
  
[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]
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[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]
  
 
No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:  
 
No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos:  
  
* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha da quarentena ocorrer depende de quantos infectados há nos vizinhos.
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* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.
  
* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes tem probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.
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* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.
  
 
* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.
 
* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.
  
* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-novamente.
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* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.
  
* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.
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* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.
  
  
Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação onde dois condenados (A e B) precisam decidir se colaboram ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos 4 possibilidades: A e B colaboram (ambos saem com uma recompensa R), A colabora mas B não colabora (B ficaria com o valor da tentação T e A com o custo do sonso S), o caso contrário onde A não colabora e B colabora e A e B não colaboram (ambos ganham com uma penalidade P). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>
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Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>
  
Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff''):  
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Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''):  
  
{| class="wikitable"
+
{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
 
|-
 
|-
! scope="col"|  
+
! style="padding:10px" scope="col"|  
! scope="col" center| A coopera
+
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! scope="col"| A não coopera
+
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
 
|-
 
|-
! scope="row"| B coopera
+
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| center | R / R
+
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| S / T
+
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
 
|-
 
|-
 
! scope="row"| B não coopera
 
! scope="row"| B não coopera
| T / S
+
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| P / P
+
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
 
|}
 
|}
  
  
Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem T > R > P > S. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que 2R > T + S. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>
+
Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>
  
A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interagem com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>
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A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>
  
Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto é a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.
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Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.
  
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A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.
  
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<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>
  
Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente S se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.
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Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.
  
 
== Implementação ==
 
== Implementação ==
  
Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit]
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Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit].
  
 
=== Implementação modelo SIR ===
 
=== Implementação modelo SIR ===
  
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Código fonte do modelo SIR: [[Código Modelo Sir]]
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O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:
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[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]
  
 
=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===
 
=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===
  
Algumas modificações são realizadas no código anterior: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a parte da escolha individual.
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Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.
  
Inicialmente é definida a matriz de ''payoff'', os diferentes parâmetros de infecção para indivíduos suscetíveis e os vetores que conterão os estados de quarentena. A seguir é possível visualizar o fluoxograma para cálculo.
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A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.
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Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.
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[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
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[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]
  
 
== Resultados e Discussão ==
 
== Resultados e Discussão ==
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=== Resultados SIR ===
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Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissibilidade <math> \beta = 0.4 </math>, taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.1 </math>. Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 > 1</math>, enquanto valores abaixo da fração <math>\gamma / \beta = 0.25</math> correspondem ao número de reprodução <math> R_0 < 1</math>.
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[[Arquivo:figura_sir_01.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]
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Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis <math> i(s) </math>, comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando <math> s < \gamma/\beta </math> o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a <math> \gamma/ \beta </math> o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando <math> s > \gamma/ \beta </math> temos o declínio da pandemia.
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[[Arquivo:Imagem 02.jpg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]
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O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão <math> \beta </math> diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa <math> \beta </math> são importantes para não congestionar o sistema de saúde.   
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[[Arquivo:figura_sir_03.png|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]
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O gráfico abaixo apresenta uma população constante de <math> N = 10^6 </math>, taxa de transmissão <math> \beta = 0.1 </math> e taxa de remoção da doença <math> \gamma = 0.2 </math>. Portanto, temos um número de reprodução <math> R_0 </math> sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.
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[[Arquivo:Figura sir 04.jpeg|center|thumb|600px|Modelo SIR - População total N =1000^2]]
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=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===
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Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:
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{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
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|-
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! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
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! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
 +
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
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|-
 +
|-
 +
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
 +
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
 +
| scope="col" style="padding:10px" center | Porcentagem de indivíduos suscetíveis
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| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math>
 +
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math>
 +
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math>
 +
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math>
 +
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math>
 +
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math>
 +
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math>
 +
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math>
 +
|-
 +
| style="padding:10px" | 500
 +
| style="padding:10px" | 3600
 +
| style="padding:10px" | 99,9% <math>S</math>
 +
| style="padding:10px" | 0.0
 +
| style="padding:10px" | 0.25
 +
| style="padding:10px" | 0.08
 +
| style="padding:10px" | 1.01
 +
| style="padding:10px" | 0.0
 +
| style="padding:10px" | 1.0
 +
| style="padding:10px" | 0.005
 +
| style="padding:10px" | 0.1
 +
|}
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 +
 +
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É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.
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<div><ul>
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<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
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<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_infectados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
 +
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:comparacao_comsem_quarentena_inicial_recuperados.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
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</ul></div>
 +
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<div><ul>
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<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_loc_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
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<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_sir_50_dez.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
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</ul></div>
  
  
* ?
+
Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido <math>R_0 > 1</math>.
  
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Como é utilizado que os indivíduos em quarentena não posuem nenhuma chance de se infectar e é necessário um vizinho infectado para passar a doença adiante, nota-se a formação de ilhas de suscetíveis na animação à direita.
  
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Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. Com a modificação dos parâmetros da dinâmica SIR e da escolha da quarentena percebe-se que a variação mínima deles (por exemplo um décimo na probabilidade de um não quarentenado contrair a doença) faz com que a evolução da doença ocorra de forma totalmente diferente, muitas vezes tendendo a parecer a evolução SIR sem o jogo.
  
 +
Por esse motivo, foi modificada a percentagem inicial de indivíduos em quarentena - mantendo os outros parâmetros - para avaliar como essa variável agia no sistema. Pelo gráfico abaixo é possível notar que acima de <math>50 \%</math> de indivíduos fora da quarentena a evolução tende ao SIR sem jogo, mas que abaixo desse valor é possível ver a formação de ondas menores.
  
* evolução temporal monte carlo SIR com jogo
+
[[Arquivo:comparacao_quarentenados_inicial.png|thumb|950px|center|Comparação da evolução dos indivíduos suscetíveis variando a porcentagem inicial de pessoas em quarentena]]
  
* evolução temporal monte carlo SIR com jogo e quantidade de quarentenados por passo
+
Mesmo os valores abaixo possuírem essa evolução tipo degrau mais acentuada para os suscetíveis, a relação entre indivíduos infectados e em quarentena não é conclusiva, como pode ser visto no gráfico que mostra a evolução das duas variáveis.
  
* evolução temporal monte carlo SIR com jogo e SIR normal
 
  
* animações com quarentenados e sir (acho que o pessoal gosta)
+
[[Arquivo:evolucao_infectados_quarentenados.png|thumb|950px|center|Evolução da população infectada e em quarentena para 60% dos indivíduos inicialmente isolados]]
  
  
Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados em um primeiro momento bem como a taxa de contaminação (em relação ao SIR normal), o que era esperado uma vez que os dados da evolução da Covid-19, em países que conseguiram obter níveis de isolamento adequados, expressam um comportamento semelhante. '''[referencia pra essa frase]'''
 
  
Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na taxa de contaminação ao longo do tempo. Esse comportamento foi atribuído pelo grupo à adesão (ou não) da população à estratégia da quarentena voluntária, fator que dependeria da percepção da pandemia pela população. Assim como observados em outros artigos, esperava-se que esse comportamento fosse replicado nas simulações. Apesar disso, foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, esse conjunto de parâmetros ideais (supondo que existam) para obter as ondas de infecção ao longo do tempo não foram encontrados. '''[referencia pra essa frase]'''
 
  
O não aparecimento das ondas de contaminação pode ser resultado do método utilizado, já que essa abordagem considera apenas os primeiros vizinhos no momento da escolha da estratégia e não o total, como feito por Marco Amaral, et al, 2020. <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>
 
  
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Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>
  
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Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, não sabemos se o problema foram os parâmetros utilizados ou se o projeto realmente não consegue simular o problema real.
  
 +
== Próximos Passos ==
  
Abaixo são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando o estado inicial do sistema em relação ao isolamento dos indivíduos.
+
Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:
  
- % de quarentenas random
+
* Automatizar os testes com parâmetros
- todos eles de um lado
+
* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
- todos eles no centro
+
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
 +
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena
  
 
== Referências ==
 
== Referências ==
  
 
<references />
 
<references />

Edição atual tal como às 13h15min de 30 de dezembro de 2021

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo SIR (Suscetível, Infectado e Recuperado) e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics" [1] utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior.

Introdução

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. [2]. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. [3]

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o objetivo de realizar a implementação do modelo SIR e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics" [1] utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al [1] propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a teoria de campo médio, obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o dilema do prisioneiro - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al [1] e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

  • Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al [1]
  • Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al [1].

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção Modelo SIR com quarentena voluntária.

Modelos

Modelo SIR

Esquemáto modelo SIR

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia [4]. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

  • Suscetível (S): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.
  • Infectado (I): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.
  • Recuperado ou Removido (R): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia [4]:

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita [5].

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável , esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por , a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por . Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

A taxa de remoção da doença, indicada por , é o inverso do período infeccioso, indicada por , que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução

O número básico de reprodução, , corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível [6].

Conforme o valor de temos o seguinte comportamento [6]:

  • epidemia crescente;
  • equilíbrio endêmico;
  • epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva . Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em [7]:

Derivando a expressão (9) em relação a observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando . Nas situações em que temos e , obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função . Na sequência é plotada a curva , observe que o sentido da abscissa é negativo para o avanço da pandemia.

Função do número de indivíduos infectados em relação ao número de indivíduos suscetíveis .

Quando esta à direita da reta a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois é maior do que . O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a , posteriormente o número de infectados irá decair, pois é menor do que . Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e juntas:

Curva do número de reprodução variando com o número de indivíduos suscetíveis .

Modelo SIR com quarentena voluntária

Esquemático modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al [1]. Nele temos:

  • Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.
  • Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença ( e ) e se tornar infectados.
  • Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.
  • Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.
  • Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.


Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo Dilema do Prisioneiro. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados (A e B) precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: A e B cooperam (ambos saem com uma recompensa R), A coopera mas B não coopera (B ficaria com o valor da tentação T e A com o custo do sonso S), A não coopera e B coopera (A ficaria com o valor da tentação T e B com o custo do sonso S) e a situação onde A e B não cooperam (ambos ganham com uma penalidade P). [8]

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (matriz de payoff ou forma normal):

A coopera A não coopera
B coopera R / R S / T
B não coopera T / S P / P


Os valores da matriz payoff devem obedecer a ordem . Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que . [8]

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). [8]

Segundo Hauert e Szabó [8], os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de clusters de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz payoff), é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que e é a irracionalidade dos componentes. [8]. Dado um número aleatório entre e , se este for menor que a probabilidade o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.


Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

Implementação

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem C, para a visualização foi utilizada a linguagem Python. Ambos scripts estão disponíveis no projeto criado no Replit.

Implementação modelo SIR

Código fonte do modelo SIR: Código Modelo Sir

O fluxograma abaixo descreve a implementação computacional deste modelo:

Fluxograma para a dinâmica SIR

Implementação modelo SIR com quarentena voluntária

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no loop é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz payoff do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No projeto criado no Replit, os arquivos utilizados foram versao_viz_quarentena.c para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e mc.h para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: outup.txt, contendo a evolução temporal do SIR, output_dinamica_sir.txt, com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e output_dinamica_loc.txt, com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo visualizacao.py que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por #%%, sendo possível utilizar apenas alguns softwares como Spyder ou Visual Studio); alguns comandos para geração das animações no gnuplot estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena
Fluxograma para a quarentena voluntária

Resultados e Discussão

Resultados SIR

Abaixo segue o primeiro gráfico obtido para a dinâmica do modelo SIR, o qual mostra a fração do número de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados com relação ao tempo. Este sistema contém uma população constante de , taxa de transmissibilidade , taxa de remoção da doença . Inicialmente o número de indivíduos suscetíveis corresponde a 98,98% do sistema, enquanto 0,02% dos indivíduos são infectados. Observa-se que a fração de indivíduos infectados aumenta a medida que o tempo avança, porém quando o número de indivíduos suscetíveis atinge a fração (representada pela reta horizontal) a fração de indivíduos infectados atinge o ponto máximo e posteriormente entra em declínio. Podemos observar, utilizando a expressão (8), que valores acima da fração correspondem ao número de reprodução , enquanto valores abaixo da fração correspondem ao número de reprodução .

Modelo SIR - População total N =1000^2

Obtemos a curva numérica do número de indivíduos infectados pelo número de indivíduos suscetíveis , comparamos esta solução com a solução analítica expressa por (9). Note que a solução numérica se aproxima da analítica na situação inicial, pois o efeito dos vizinhos neste intervalo é mínimo, já que a maioria dos indivíduos é suscetível. No entanto, a medida que a pandemia avança, o efeito dos vizinhos torna-se relevante, e como a expressão analítica não contempla este efeito, as duas curvas diferenciam-se uma da outra. Podemos observar que quando o número de indivíduos infectados aumenta, já quando a fração de indivíduos se iguala a o número de indivíduos infectados se torna máximo e a pandemia estabiliza, por fim quando temos o declínio da pandemia.

Modelo SIR - População total N =1000^2

O gráfico abaixo tem a mesma configuração para ambas as curvas, mas parâmetros de taxa de transmissão diferentes. Podemos observar, que para a curva com maior taxa de transmissão, o pico da fração de indivíduos infectados é bastante superior ao da outra. Podemos concluir, através deste gráfico, que medidas estratégicas para diminuir a taxa são importantes para não congestionar o sistema de saúde.

Modelo SIR - População total N =1000^2

O gráfico abaixo apresenta uma população constante de , taxa de transmissão e taxa de remoção da doença . Portanto, temos um número de reprodução sempre menor do que um, isto implica que a pandemia nunca irá ocorrer, tal como vemos no gráfico abaixo.

Modelo SIR - População total N =1000^2

Resultados SIR com quarentena voluntária

Na simulação com quarentena voluntária é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados. Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

Simulação Dinâmica SIR Matriz de Payoff
Tempo (passos) Número de indivíduos Porcentagem de indivíduos suscetíveis
500 3600 99,9% 0.0 0.25 0.08 1.01 0.0 1.0 0.005 0.1


É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.


  • Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada
  • Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada
  • Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada


  • Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados
  • Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados


Com os parâmetros utilizados, percebe-se que a quarentena auxilia na diminuição de casos iniciais, diminuindo e distribuindo a onda de infectados ao longo do tempo (note que o tempo é em passos). Nos gráficos é mantida as relações apresentadas acima para o dilema do prisioneiro e também é definido .

Como é utilizado que os indivíduos em quarentena não posuem nenhuma chance de se infectar e é necessário um vizinho infectado para passar a doença adiante, nota-se a formação de ilhas de suscetíveis na animação à direita.

Ainda não é percebido a onda após a primeira bem definida como no artigo de referência, ficam somente oscilações ao longo do tempo. Com a modificação dos parâmetros da dinâmica SIR e da escolha da quarentena percebe-se que a variação mínima deles (por exemplo um décimo na probabilidade de um não quarentenado contrair a doença) faz com que a evolução da doença ocorra de forma totalmente diferente, muitas vezes tendendo a parecer a evolução SIR sem o jogo.

Por esse motivo, foi modificada a percentagem inicial de indivíduos em quarentena - mantendo os outros parâmetros - para avaliar como essa variável agia no sistema. Pelo gráfico abaixo é possível notar que acima de de indivíduos fora da quarentena a evolução tende ao SIR sem jogo, mas que abaixo desse valor é possível ver a formação de ondas menores.

Comparação da evolução dos indivíduos suscetíveis variando a porcentagem inicial de pessoas em quarentena

Mesmo os valores abaixo possuírem essa evolução tipo degrau mais acentuada para os suscetíveis, a relação entre indivíduos infectados e em quarentena não é conclusiva, como pode ser visto no gráfico que mostra a evolução das duas variáveis.


Evolução da população infectada e em quarentena para 60% dos indivíduos inicialmente isolados



Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na primeira onda, tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. [9]

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de payoff e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, não sabemos se o problema foram os parâmetros utilizados ou se o projeto realmente não consegue simular o problema real.

Próximos Passos

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

  • Automatizar os testes com parâmetros
  • Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
  • Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
  • Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

Referências

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .
  2. SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.
  3. BAVEL, Jay; et al, Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .
  4. 4,0 4,1 MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR
  5. Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477
  6. 6,0 6,1 M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007.
  7. Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with differential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. Game theory and physics. DOI: 10.1119/1.18485144 .
  9. MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618>