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(Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução)
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==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====
 
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O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contagiadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.
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O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.
  
 
<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} S_0 \qquad (8) </math>
 
<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} S_0 \qquad (8) </math>

Edição das 03h20min de 25 de novembro de 2021

Em construção

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

Apresentação


O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo SIR (Suscetível, Infectado e Recuperado) e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics" [1] utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

Introdução

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo SIR e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics" [1] utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al [1] propõe que o indivíduo escolha adequar-se a alguma estratégia, fazer quarentena ou não, dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR; com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a simulação, os autores utilizam a teoria de campo médio, que resulta em ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o dilema do prisioneiro - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção Modelo SIR com quarentena voluntária.

Modelos

Modelo SIR

Esquemáto modelo SIR

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia [2]. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

  • Suscetível (S): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.
  • Infectado (I): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.
  • Recuperado ou Removido (R): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro R recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estás quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia [2]:

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita [3].

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável beta, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por Tau, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por "c barra". Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

A taxa de remoção da doença, indicada por , é o inverso do período infeccioso, indicada por , que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução

O número básico de reprodução, , corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível [4].

Conforme o valor de temos o seguinte comportamento [4]:

  • epidemia crescente;
  • equilíbrio endêmico;
  • epidemia decrescente.

Podemos interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando o comportamento da curva , para obter essa função iremos dividir a expressão (2) pela expressão (1) e posteriormente integrar ambos os lados da igualdade, desta forma chegamos em:

Derivando a expressão (9) em relação a S observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando . Nas situações em que temos e , obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função . Na sequência é plotada a curva para diferentes valores de . Observe que o sentido da abscissa é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial está à direita da reta a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois é maior que um. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a , posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial está à esquerda da reta a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois é menor do que um.

Modelo SIR com quarentena voluntária

Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al [1]. Nele temos:

  • Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade para a escolha da quarentena ocorrer depende de quantos infectados há nos vizinhos.
  • Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença ( e ) e se tornar infectados.
  • Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.
  • Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-lá novamente.
  • Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.


Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo Dilema do Prisioneiro. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados (A e B) precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: A e B cooperam (ambos saem com uma recompensa R), A coopera mas B não coopera (B ficaria com o valor da tentação T e A com o custo do sonso S), o caso contrário onde A não coopera e B coopera e A e B não cooperam (ambos ganham com uma penalidade P). [5]

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (matriz de payoff ou forma normal):

A coopera A não coopera
B coopera R / R S / T
B não coopera T / S P / P


Os valores da matriz payoff devem obedecer a ordem . Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que . [5]

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). [5]

Segundo Hauert e Szabó [5], os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto é a formação de clusters de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz payoff), é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que e é a irracionalidade dos componentes. [5]. Dado um número aleatório entre 0 e 1, se este for maior que a probabilidade o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.


Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

Implementação

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem C, para a visualização foi utilizada a linguagem Python. Ambos scripts estão disponíveis no projeto criado no Replit. Na página também é possível visualizar os fluxogramas para o cálculo.

Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena
Fluxograma para a quarentena voluntária


Implementação modelo SIR

Implementação modelo SIR com quarentena voluntária

Algumas modificações são realizadas no código anterior: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a parte da escolha individual.

Inicialmente é definida a matriz de payoff, os diferentes parâmetros de infecção para indivíduos suscetíveis e os vetores que conterão os estados de quarentena. A seguir é possível visualizar o fluoxograma para cálculo.

Resultados e Discussão

Resultados SIR

colocar aqui o I(s) tambem

Resultados SIR com quarentena voluntária

Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

Simulação Dinâmica SIR Matriz de Payoff
Tempo (passos) Número de indivíduos
500 60 0.0 0.3 0.6 1.04 0.0 1.0 0.0 0.1

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena que após será testado. A dinâmica SIR sem o jogo é feita colocando que nenhuma pessoa está isolada.


  • Comparação da evolução entre os sucetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada
  • Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada
  • Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada


Para entender o efeito do estado inicial do sistema no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando o estado inicial do sistema em relação ao isolamento inicial dos indivíduos. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. No gráfico, a porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária [1] - no gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso. Em seguida é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados
Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados

Como uma confirmação, é feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena.

Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados





Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados em um primeiro momento bem como a taxa de contaminação (em relação ao SIR normal), o que era esperado uma vez que os dados da evolução da Covid-19, em países que conseguiram obter níveis de isolamento adequados, expressam um comportamento semelhante. [referencia pra essa frase]

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na taxa de contaminação ao longo do tempo. Esse comportamento foi atribuído pelo grupo à adesão (ou não) da população à estratégia da quarentena voluntária, fator que dependeria da percepção da pandemia pela população, bem como ao número inicial de indivíduos quarentenados. Assim como observados em outros artigos, esperava-se que esse comportamento fosse replicado nas simulações. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de payoff e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.[referencia pra essa frase]

Próximos Passos

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

  • SIR "olhando pros vizinhos"
  • Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
  • Buscar se ao olhar para uma vizinhança maior o objetivo é obtido
  • Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

Referências

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .
  2. 2,0 2,1 MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR
  3. Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477
  4. 4,0 4,1 M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007.
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. Game theory and physics. DOI: 10.1119/1.18485144 .