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'''Em construção'''

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] ('''''S'''uscetível, '''I'''nfectado e '''R'''ecuperado'') e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo. Espera-se obter ondas de infecção quando utilizado o processo de quarentena voluntária, tal qual observada pelos dados da Covid-19 e encontrada pelo artigo de referência do modelo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados. São deixados alguns objetivos futuros para um trabalho posterior. 

== Introdução ==

A pandemia atual mostrou que táticas para mitigar o avanço da doença dependem não só de medidas governamentais, mas também da percepção do indivíduo nesse meio. <ref name="introref">SIEGRIST, Michael;BERTH, Angela. ''Worldviews, trust, and risk perceptions shape public acceptance of COVID-19 public health measures''. DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.2100411118.</ref>. Essa percepção depende da métrica utilizada por cada pessoa, levando em consideração fatores como: prejuízos psicológicos, situação econômica, o entendimento sobre o que é certo (como a sociedade o enxerga, quais as verdades que são consideradas pelo indivíduo), a escolha pelo bem comum, entre outros. A visão do indivíduo pode mudar ao longo do tempo e, com isso, modificar como a doença evolui - como é quantificado pela formação de ondas de infecção atualmente. <ref name="nature">BAVEL, Jay; et al, ''Using social and behavioural science to support COVID-19 pandemic response''. DOI: https://doi.org/10.1038/s41562-020-0884-z .</ref>

A fim de simular esses cenários de pandemia com e sem a percepção do indivíduo, propõe-se um trabalho com o '''objetivo''' de realizar a implementação do modelo [https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology SIR] e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''" <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> propõe que o indivíduo escolha adequar-se a uma das estratégias da quarentena (fazer ou não) dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a solução, os autores utilizam a [https://en.wikipedia.org/wiki/Mean-field_theory teoria de campo médio], obtendo ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro dilema do prisioneiro] - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo. 

É esperado obter as ondas de infecção como previsto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref> e observadas nos dados reais da Covid-19, ambos os exemplos podem ser observados a seguir. Como o método é diferente, não é esperado que as ondas sejam iguais às do artigo, mas sim, um movimento mais sutil.

<div><ul> 
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:evolucao-marco-infectados.png|400px|thumb|Resultado do modelo proposto por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:coronavirus-data-explorer.png|500px|thumb|Casos diários confirmados de Covid-19 a cada um milhão de pessoas no Reino Unido e na Alemanha]]</li>
</ul></div>

No gráfico da direita pode-se observar a quantidade de casos diários (infectados) na Alemanha e no Reino Unido ao longo do tempo, vê-se que existem ondas de infecção. Já no gráfico da direita, é possível observar a solução obtida por Marco Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção ''Modelo SIR com quarentena voluntária''.

== Modelos ==

=== Modelo SIR ===


[[File:sir_model.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR]]

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia <ref name = SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>. O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo: 

* Suscetível ('''S'''): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.    

* Infectado ('''I'''): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

* Recuperado ou Removido ('''R'''): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro <math>R</math> recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estas quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia <ref name=SIR> MCKENDRICK, A.G.; KERMACK, W. O.. Mathematical Theory of Epidemics. Disponível em: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56208r/f728.item.langFR </ref>:

<math>
    \frac{dS}{dt} = - \beta IS  \qquad (1)
</math>

<math>
    \frac{dI}{dt} =  \beta IS - \gamma I \qquad (2)
</math>

<math>
    \frac{dR}{dt} = \gamma I \qquad (3)
</math>

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita <ref> Harko, Tiberiu; Lobo, Francisco S. N.; Mak, M. K. (2014). "Exact analytical solutions of the Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model and of the SIR model with equal death and birth rates". Applied Mathematics and Computation. 236: 184–194. arXiv:1403.2160. Bibcode:2014arXiv1403.2160H. doi:10.1016/j.amc.2014.03.030. S2CID 14509477 </ref>.

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos: 

<math>
S + I + R = N \qquad (4)
</math>

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

<math>
s + i + r = 1 \qquad (5)
</math>

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável <math>\beta</math>, esta depende de outras duas variáveis, a primeira indica a "transmissibilidade", definida por <math>\tau</math>, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por <math>\bar c</math>. Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

<math>
\beta = \tau \bar c \qquad (6)
</math>

A taxa de remoção da doença, indicada por <math>\gamma</math>, é o inverso do período infeccioso, indicada por <math>d</math>, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

<math>
d = \frac {1}{\gamma} \qquad (7)
</math>

==== Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução ====

O número básico de reprodução, <math> R_0 </math>, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>.

<math> R_0 = \frac{\beta}{\gamma} s_0 \qquad (8) </math>

Conforme o valor de <math> R_0 </math> temos o seguinte comportamento <ref name = r0 > M.G.Roberts. The pluses and minuses of r 0 . Journal of the Royal Society interface4, 2007. </ref>:

* <math> R_0 > 1 \Rightarrow </math> epidemia crescente;
* <math> R_0 = 1 \Rightarrow </math> equilíbrio endêmico;
* <math> R_0 < 1 \Rightarrow </math> epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva <math>i(s)</math>. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em <ref> Beckley, Ross; Weatherspoon, Cametria; Alexander, Michael; Chandler, Marissa; Johnson, Anthony; Batt, Ghan S. (2013). Modeling epidemics with diﬀerential equations. Disponível em: http://www.tnstate.edu/mathematics/mathreu/filesreu/GroupProjectSIR.pdf </ref>:

<math> i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln (s) -\frac{\gamma}{\beta}\ln (s_0) -s +1 \qquad (9) </math>

Derivando a expressão (9) em relação a <math>s</math> observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando <math>s = \gamma/\beta</math>. Nas situações em que temos <math>s < \gamma/\beta</math> e <math>s > \gamma/\beta</math>, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função <math>i(s)</math>. Na sequência é plotada a curva <math>i(s)</math>, observe que o sentido da abscissa <math>s</math> é negativo para o avanço da pandemia.

[[File:I(s).png|500 px|center|thumb|Função do número de indivíduos infectados <math> i </math> em relação ao número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

Quando <math> s </math> esta à direita da reta <math>s = \gamma/\beta</math> a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois <math> R_0 </math> é maior do que <math>1</math>. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a <math>\gamma/\beta</math>, posteriormente o número de infectados irá decair, pois <math> R_0 </math> é menor do que <math>1</math>. Podemos entender melhor esta informação plotando as curvas i(s) e <math> R_0(s) </math> juntas:

[[File:R0(S).png|500 px|center|thumb|Curva do número de reprodução <math>R_0</math> variando com o número de indivíduos suscetíveis <math> s </math>.]]

=== Modelo SIR com quarentena voluntária ===


[[File:sir_modificado.png|right|300px|thumb|Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis]]

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. Nele temos: 

* Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade <math>\phi_S</math> para a escolha depende da estratégia adotada pelos quatro vizinhos do sítio escolhido.

* Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença (<math>\beta_Q</math> e <math>\beta_N</math>) e se tornar infectados.

* Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

* Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-la novamente.

* Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados independente do seu estado de infecção, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.


Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo [https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro Dilema do Prisioneiro]. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados ('''A''' e '''B''') precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: '''A''' e '''B''' cooperam (ambos saem com uma recompensa '''R'''), '''A''' coopera mas '''B''' não coopera ('''B''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''A''' com o custo do sonso '''S'''), '''A''' não coopera e '''B''' coopera ('''A''' ficaria com o valor da tentação '''T''' e '''B''' com o custo do sonso '''S''') e a situação onde '''A''' e '''B''' não cooperam (ambos ganham com uma penalidade '''P'''). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (''matriz de payoff'' ou ''[https://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro forma normal]''): 

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! style="padding:10px" scope="col"| 
! style="padding:10px" scope="col" center| A coopera
! style="padding:10px" scope="col"| A não coopera
|-
! style="padding:10px" scope="row"| B coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | R / R
| style="padding:10px; text-align:center" | S / T
|-
! scope="row"| B não coopera
| style="padding:10px; text-align:center" | T / S
| style="padding:10px; text-align:center" |P / P
|}


Os valores da matriz ''payoff'' devem obedecer a ordem <math>T > R > P > S</math>. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que <math>2R > T + S</math>. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente ocupa um espaço fixo sem poder se movimentar. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas). <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>

Segundo Hauert e Szabó <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>, os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos individuais. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto a formação de ''clusters'' de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: <math>P_{vizinho}</math> é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz ''payoff''), <math>S_{sitio}</math> é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que <math>P_{vizinho}</math> e <math>k</math> é a irracionalidade dos componentes. <ref name="hauert">HAUERT, Christoph; SZABÓ, György. ''Game theory and physics''. DOI: 10.1119/1.18485144 .</ref>. Dado um número aleatório entre <math>0</math> e <math>1</math>, se este for menor que a probabilidade <math>\phi_S</math> o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente. Assim, quando a probabilidade calculada for igual a 1, qualquer número escolhido resultará na mudança da estratégia.

<math>\phi_S = [1 + \exp(-(P_{vizinho} - P_{sitio})/k)]^{-1}</math>


Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente <math>S</math> se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

== Implementação ==

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem [https://en.wikipedia.org/wiki/C_(programming_language) C], para a visualização foi utilizada a linguagem [https://pt.wikipedia.org/wiki/Python Python]. Ambos ''scripts'' estão disponíveis no [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit]. 

=== Implementação modelo SIR ===

Código fonte do modelo SIR: [[Modelo Sir]]

[[Arquivo:fluxograma_sir_certo.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR]]

=== Implementação modelo SIR com quarentena voluntária ===

Algumas modificações são realizadas a partir do código anterior para adicionar a quarentena voluntária: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a escolha de se isolar ou não.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no ''loop'' é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz ''payoff'' do jogo. A seguir é possível visualizar o fluxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

Os códigos estão disponíveis No [https://replit.com/@JuliaRemus/sirmodificado#README.md projeto criado no Replit], os arquivos utilizados foram ''versao_viz_quarentena.c'' para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e ''mc.h'' para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: ''outup.txt'', contendo a evolução temporal do SIR, ''output_dinamica_sir.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e ''output_dinamica_loc.txt'', com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo ''visualizacao.py'' que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note, que está separado em blocos por ''#%%'', sendo possível utilizar apenas alguns softwares como ''Spyder'' ou ''Visual Studio''); alguns comandos para geração das animações no ''gnuplot'' estão comentados ao longo do código e podem ser usados.

[[Arquivo:fluxograma_sir_quarentena_certo_2.png|center|thumb|800px|Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena]]
[[Arquivo:diagrama_jogo_certo.png|thumb|center|600px|Fluxograma para a quarentena voluntária]]

== Resultados e Discussão ==

=== Resultados SIR ===

=== Resultados SIR com quarentena voluntária ===

Na simulação com quarentena voluntária não é utilizado o SIR com a dinâmica dependendo dos vizinhos infectados (ponto para o trabalho futuro). Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

{| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto"
|-
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Simulação
! scope="col" style="padding:10px" colspan="3" | Dinâmica SIR
! scope="col" style="padding:10px" colspan="5" | Matriz de ''Payoff''
|-
|-
| scope="col" style="padding:10px" center | Tempo (passos)
| scope="col" style="padding:10px" center | Número de indivíduos
| scope="col" style="padding:10px" center | Estado de infecção inicial
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_Q</math> 
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\beta_N</math> 
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>\gamma</math> 
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>T</math> 
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>S</math> 
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>R</math> 
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>P</math> 
| scope="col" style="padding:10px" center | <math>k</math> 
|-
| style="padding:10px" | 500
| style="padding:10px" | 3600
| style="padding:10px" | 100% <math>S</math>
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.3
| style="padding:10px" | 0.6
| style="padding:10px" | 1.04
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 1.0
| style="padding:10px" | 0.0
| style="padding:10px" | 0.1
|}



É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena. A dinâmica SIR sem o jogo é realizada definindo que nenhuma pessoa está isolada. Com essas premissas e com os parâmetros os resultados obtidos são apresentados a seguir, neles é possível comparar a simulação com a escolha da quarentena e sem. Define-se que o indivíduo isolado não tem chance de se tronar infectado (<math>\beta_Q = 0</math>), o que não é totalmente verdade, pois existe sempre algum contato das pessoas mesmo que ínfimo.

<div><ul> 
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_suscetiveis_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os suscetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_infectados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:2411_recuperados_comparacao_v1.png|thumb|450px|center|Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada]] </li>
</ul></div>

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções iniciais, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros. Abaixo são mostradas as animações com a evolução da doença e do isolamento no sistema.


<div><ul> 
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_50_sir_optmized.gif|thumb|450px|center|Evolução do sistema SIR a partir de 50% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>

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Para entender o efeito do estado inicial de isolamento no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando a proporção entre indivíduos quarentenados e não quarentenados. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente -, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. A porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

[[Arquivo:evolucao doenca dependendo qaurentenados.png|thumb|1000px|center|Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento]]


No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária <ref name="multiple">AMARAL, Marco; OLIVEIRA, Marcelo de; JAVARONE, Marco, ''An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics''. arXiv:2008.05979v2 [physics.soc-ph] .</ref>. No gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso e, em seguida, é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411_infectados_quarentenados_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados]]

[[Arquivo:2411_sir_jogo_v3_20p.png|thumb|1000px|center|Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados]]

Acima é possível fazer uma relação entre diminuição de componentes em isolamento e infectados. 


É feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados. Novamente, note que no gráfico abaixo existem dois eixos com a mesma quantidade, isso ocorre porque a grandeza dos quarentenados é muito maior do que as de infectados. No lado esquerdo tem-se os valores da fração da população quarentenada (linha preta) e no direito a fração relacionada aos infectados (linha azul).

[[Arquivo:2411 infectados quarentenados v2 18p.png|thumb|1000px|center|Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados]]


Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.


<div><ul> 
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18.gif|thumb|450px|Evolução do sistema de quarentena a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[Arquivo:gif_18_sir_optmized.gif|thumb|450px|Evolução do sistema SIR a partir de 82% dos componentes isolados]] </li>
</ul></div>



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Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados na '''primeira onda''', tendência prevista por outras pesquisas e que evita o esgotamento dos serviços de saúde. <ref>MAGENTA, Matheus. Quarentenas funcionam para combater o coronavírus? Veja o que dizem os estudos. BBC News. Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/internacional-52830618></ref>

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na quantidade de infectados. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de ''payoff'' e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.

== Próximos Passos ==

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

* Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
* Buscar se há diferenças quando a percepção do componente está só no primeiro vizinho e quando ele consegue ver mais o sistema
* Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena

== Referências ==

<references />