Mudanças entre as edições de "Modelo de Turing"

De Física Computacional
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(Estabilidade de Sistemas Reativos-Difusivos)
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Se o sistema fosse originalmente estável, isto é, <math>\text{Tx}(A) < 0</math> e <math>\text{det(A) > 0</math> a segunda desigualdade é sempre verdade, mas a primeira não. Podemos ver que a desigualdade pode ser violada se
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Se o sistema fosse originalmente estável, isto é, <math>\text{Tr}(A) < 0</math> e <math>\text{det}(A) > 0</math> a segunda desigualdade é sempre verdade, mas a primeira não. Podemos ver que a desigualdade pode ser violada se
  
  
<math>g(z) = - D_u D_v z^2  + (a D_v + d D_u)z - \text{det}(A)</math>     (Onde <math>z = \omega^2</math>)
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<math>g(z) = - D_u D_v z^2  + (a D_v + d D_u)z - \text{det}(A)</math>  
  
  
tomar valores positivos para  algum <math>z > 0</math>. Podemos reescrever <math>g(z)</math> da forma
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tomar valores positivos para  algum <math>z > 0</math> (Onde <math>z = \omega^2</math>). Podemos reescrever <math>g(z)</math> da forma
  
  
 
<math>g(z) = - D_u D_v \left(z - \frac{a D_v + d D_u}{2D_u D_v} \right)^2 + \left( \frac{(a D_v + d D_u)^2}{4D_u D_v} \right) - \text{det}(A)</math>
 
<math>g(z) = - D_u D_v \left(z - \frac{a D_v + d D_u}{2D_u D_v} \right)^2 + \left( \frac{(a D_v + d D_u)^2}{4D_u D_v} \right) - \text{det}(A)</math>
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Vamos então analisar duas opções onde podemos ter <math>z > 0</math>: (1) o ponto mais alto da função fica no lado positivo do eixo <math>z</math> ou (2) o ponto mais alto da função fica no no lado negativo do eixo <math>z</math>. Na primeira opção (1) a única condição é que o máximo da função seja acima do eixo <math>z</math>, logo teremos
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<math> \left( \frac{(a D_v + d D_u)^2}{4D_u D_v} \right) - \text{det}(A) > 0</math>
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Se o máximo da função estiver no lado negativo de <math>z</math>, opção (2), a condição é que o ponto que interceptar <math>g(z)</math> deve ser positivo, podemos escrever isso da forma
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<math>g(0) =  - \text{det}(A) > 0</math>
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Podemos ver que a opção (2) nunca pode ser obtida, pois o modelo é inicialmente estável e <math>\text{det}(A) > 0</math>, assim a única opção para que a difusão desestabilize o sistema é quando
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<math> a D_v + d D_u > 2 \sqrt{D_u D_v \text{det}(A)}</math>
  
 
== Implementação ==
 
== Implementação ==

Edição das 16h11min de 22 de novembro de 2020

EM CONSTRUÇÃO

Equação de Turing

Simulações computacionais que envolvem equações diferenciais parciais (EDP's) são usualmente modeladas através da discretização das variáveis espaciais e temporais. Algumas dessas equações descrevem comportamentos difusivos no sistema, sendo chamadas de equações de difusão. Tais equações envolvem variáveis de estado que apresentam variações temporal e espacial e coeficientes de difusão no sistema, além de outros parâmetros que influenciam na evolução dos estados. Dentro desse ramo de equações, encontra-se o Modelo de Turing, desenvolvido por Alan Turing, que utiliza como base a concentração de espécies em um sistema, avaliando sua reação, difusão e variação espacial e temporal. São muitas as aplicações do modelo, principalmente em ramos como biologia e química, envolvendo problemas com formação de padrões[1]. A seguir, descrevemos sua formulação matemática.

Sejam e as concentrações das espécies que serão analisadas. Sejam e parâmetros e e constantes. Os coeficientes de difusão são e , cada um associado a uma das concentrações[2]. O Modelo de Turing é dado pelas EDP's



Note que certa parte de cada equação depende apenas dos parâmetros e das concentrações. Podemos, portanto, utilizar funções de variáveis e para descrever o sistema[3], de modo que


Estabilidade e Instabilidade no Modelo de Turing

Pontos de Equilíbrio

Vimos que o modelo de Turing depende de parâmetros , de constantes e e dos coeficientes de difusão.

Afirmação: Se , temos ( como o único ponto de equilíbrio.

Demonstração: Mostraremos que é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos



para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, e . Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos




Consequentemente, devemos ter


.


Do mesmo modo, . Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.

Estabilidade de Sistemas Reativos-Difusivos

Para estudarmos a estabilidade dos sistemas reativos-difusivos precisamos encontrar os autovalores da matriz[2]



Onde é a matriz jacobiana dos termos de reação, é a matriz diagonal dos termos de difusão e é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A prova dessa pode ser encontrada nas referências. Aplicando isso ao modelo de Turing obtemos



Para esta matriz ser estável precisamos que o determinante dessa matriz seja positivo e o traço seja negativo. Obtemos então



Podemos ver que em ambas desigualdades aparecerá o Determinante e o Traço da matriz dos coeficientes de reação. Denotaremos essa matriz por . Reescrevendo então obtemos



Se o sistema fosse originalmente estável, isto é, e a segunda desigualdade é sempre verdade, mas a primeira não. Podemos ver que a desigualdade pode ser violada se



tomar valores positivos para algum (Onde ). Podemos reescrever da forma



Vamos então analisar duas opções onde podemos ter : (1) o ponto mais alto da função fica no lado positivo do eixo ou (2) o ponto mais alto da função fica no no lado negativo do eixo . Na primeira opção (1) a única condição é que o máximo da função seja acima do eixo , logo teremos



Se o máximo da função estiver no lado negativo de , opção (2), a condição é que o ponto que interceptar deve ser positivo, podemos escrever isso da forma



Podemos ver que a opção (2) nunca pode ser obtida, pois o modelo é inicialmente estável e , assim a única opção para que a difusão desestabilize o sistema é quando


Implementação

Para resolver numericamente as equações de Turing iremos utilizar o método FTCS (Forward Time Central Space). O método FTCS é o mais simples e consiste em discretizar a derivada em de forma não simetrizada. Obtemos as seguintes discretizações para uma função genérica




Onde é o vetor posição, que neste trabalho utilizamos apenas duas dimensões, .

Podemos discretizar as equações de Turing diretamente com o método FTCS. Talvez o único problema seja o laplaciano, porém basta escrever da forma



Assim podemos utilizar a discretização simetrizada e obter



Ao tomarmos , que faremos aqui, podemos simplificar a discretização do laplaciano para


Então obtemos que as equações de Turing discretizadas pelo método FTCS, em notação discreta, são dadas por



Onde e são os índices espaciais e é o índice temporal.

Utilizamos uma rede quadrada de tamanho com condições de contorno periódicas. O sistema inicia próximo do equilibrio e então é aplicado um pequeno ruído para começar a difusão. O ruído é muito importante, sem ele o sistema ficaria sempre no equilíbrio. O ruído também deve ser pequeno suficiente para quebrar o estado inicial, mas não grande suficiente para causar instabilidades numéricas na simulação. O ruído utilizado aqui consiste em números aleatórios no intervalo . Tomamos .

Resultados

Programas Utilizados

Referências

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Turing_pattern
  2. 2,0 2,1 H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 260. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
  3. J. Jost, "Partial Differential Equations", 3ed, p.140. Springer Science+Business Media, New York, 2013.