Mudanças entre as edições de "Modelo de Turing"

De Física Computacional
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==Equação de Turing==
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Simulações computacionais que envolvem equações diferenciais parciais (EDP's) são usualmente modeladas através da discretização das variáveis espaciais e temporais. Algumas dessas equações descrevem comportamentos difusivos no sistema, sendo chamadas de equações de difusão. Tais equações envolvem variáveis de estado que apresentam variações temporal e espacial e  coeficientes de difusão no sistema, além de outros parâmetros que influenciam na evolução dos estados. Dentro desse ramo de equações, encontra-se o Modelo de Turing, desenvolvido por Alan Turing, que utiliza como base a concentração de espécies em um sistema, avaliando sua reação, difusão e variação espacial e temporal. São muitas as aplicações do modelo, principalmente em ramos como biologia e química, envolvendo problemas com formação de padrões<ref name=wikipedia1> https://en.wikipedia.org/wiki/Turing_pattern</ref>. A seguir, descrevemos sua formulação matemática.
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Sejam <math>u</math> e <math>v</math> as concentrações das espécies que serão analisadas. Sejam <math>a,b,c</math> e <math>d</math> parâmetros e <math>h</math> e <math>k</math> constantes. Os coeficientes de difusão são <math>D_u</math> e <math>D_v</math>, cada um associado a uma das concentrações<ref name=Sayama260>H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 260. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.</ref>. O Modelo de Turing é dado pelas EDP's
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<math>\frac{\partial{u}}{\partial{t}}= a(u-h) + b(v-k) + D_u\nabla^2u</math>
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<math>\frac{\partial{v}}{\partial{t}}= c(u-h) + d(v-k) + D_v\nabla^2v</math>
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Note que certa parte de cada equação depende apenas dos parâmetros e das concentrações. Podemos, portanto, utilizar funções de variáveis <math>u</math> e <math>v</math> para descrever o sistema<ref name=JurgenJost140>J. Jost, "Partial Differential Equations", 3ed, p.140.  Springer Science+Business Media, New York, 2013.</ref>, de modo que
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<math>u_t=D_u\nabla^2u + f(u,v)</math>
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<math>v_t=D_v\nabla^2v + g(u,v)</math>
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==Estabilidade e instabilidade no modelo de Turing==
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Já vimos que o modelo de Turing depende de parâmetros <math>a,b,c,d</math>, de constantes <math>h</math> e <math>k</math> e dos coeficientes de difusão.
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'''Afirmação''': Se <math>D_u=D_v=0</math>, temos (<math>v_{eq}, u_{eq})=(h,k)</math> como o único ponto de equilíbrio.
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'''Demonstração''': Mostraremos que <math>(h,k)</math> é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos <math>u_t\Bigg|_{u=k} = 0 = v_t\Bigg|_{v=h}</math>. Para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, <math>(v_1,u_1)</math> e <math>(v_2,u_2)</math>. Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos <math>a(u_1-u_2)+b(v_1-v_2)=0</math> e <math>c(u_1-u_2)+d(v1-v_2)</math>. Consequentemente, devemos ter <math>(\frac{-ad}{c}+b)(v_1-v_2)=0 \Longrightarrow v_1=v_2</math>. Do mesmo modo, <math>u_1=u_2</math>. Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.
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== Referências ==
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<references/>

Edição das 23h25min de 20 de novembro de 2020

EM CONSTRUÇÃO

Equação de Turing

Simulações computacionais que envolvem equações diferenciais parciais (EDP's) são usualmente modeladas através da discretização das variáveis espaciais e temporais. Algumas dessas equações descrevem comportamentos difusivos no sistema, sendo chamadas de equações de difusão. Tais equações envolvem variáveis de estado que apresentam variações temporal e espacial e coeficientes de difusão no sistema, além de outros parâmetros que influenciam na evolução dos estados. Dentro desse ramo de equações, encontra-se o Modelo de Turing, desenvolvido por Alan Turing, que utiliza como base a concentração de espécies em um sistema, avaliando sua reação, difusão e variação espacial e temporal. São muitas as aplicações do modelo, principalmente em ramos como biologia e química, envolvendo problemas com formação de padrões[1]. A seguir, descrevemos sua formulação matemática.

Sejam e as concentrações das espécies que serão analisadas. Sejam e parâmetros e e constantes. Os coeficientes de difusão são e , cada um associado a uma das concentrações[2]. O Modelo de Turing é dado pelas EDP's

Note que certa parte de cada equação depende apenas dos parâmetros e das concentrações. Podemos, portanto, utilizar funções de variáveis e para descrever o sistema[3], de modo que


Estabilidade e instabilidade no modelo de Turing

Já vimos que o modelo de Turing depende de parâmetros , de constantes e e dos coeficientes de difusão.

Afirmação: Se , temos ( como o único ponto de equilíbrio.

Demonstração: Mostraremos que é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos . Para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, e . Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos e . Consequentemente, devemos ter . Do mesmo modo, . Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.


Referências

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Turing_pattern
  2. H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 260. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
  3. J. Jost, "Partial Differential Equations", 3ed, p.140. Springer Science+Business Media, New York, 2013.