Mudanças entre as edições de "Modelo de Potts 2D"
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<math>\frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = e^{-\frac{\Delta E}{k_BT}}, \qquad (3)</math> | <math>\frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = e^{-\frac{\Delta E}{k_BT}}, \qquad (3)</math> | ||
| − | onde <math>\Delta E = E_\nu - E_\mu</math> é a diferença entre o novo e o antigo estado. | + | onde <math>\Delta E = E_\nu - E_\mu</math> é a diferença de energia entre o novo e o antigo estado. |
Vamos supor que tenhamos os estados <math>\mu</math> e <math>\nu</math> e que temos a relação de energias: <math>E_\mu < E_\nu</math>. Então, a maior das duas chances de aceitação é <math>A(\nu \rightarrow \mu)</math>, portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. | Vamos supor que tenhamos os estados <math>\mu</math> e <math>\nu</math> e que temos a relação de energias: <math>E_\mu < E_\nu</math>. Então, a maior das duas chances de aceitação é <math>A(\nu \rightarrow \mu)</math>, portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. | ||
Edição das 21h48min de 9 de maio de 2021
Modelo de Potts
O "modelo de Potts de Q-estados" trata de um sistema de rede com N spins interagentes 
, onde um spin 
pode assumir valores discretos 
. Cada spin do sistema está limitado a interagir com outros spins em sua vizinhança e a energia da interação entre dois spins e 
é dada pelo potencial
onde 
é a função delta de Kronecker e 
é a constante de interação entre os spins. Dessa maneira, a interação entre dois spins vizinhos contabiliza um valor 
de energia ao sistema apenas se 
. A hamiltoniana do sistema é dada pela soma entre todas as interações entre spins vizinhos:
Este modelo é tido como uma generalização natural do Modelo de Ising e para o caso 
ambos modelos são equivalentes a menos de uma constante:
Nesse caso, a interação entre dois spins e assume a mesma dinâmica do modelo de Ising a contribuição para a energia do sistema será
Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos. A quantidade de spins no modelo é 
com interações ferromagnéticas com 
, favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de 
para minimizar a energia do sistema.
Método de Monte Carlo
Algorítmo de Metrópolis
O primeiro algoritmo utilizado para gerar as configurações do sistema foi o algoritmo de Metropolis. O algoritmo funcionará escolhendo repetidamente um novo estado 
e aceitando ou rejeitando o estado de acordo com uma probabilidade de aceitação 
de transitar de um estado antigo 
para o novo estado . O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins. Para o modelo de Potts, um spin é selecionado aleatoriamente e se sorteia um novo valor de . O algoritmo de Metropolis é responsável por aceitar ou não a transição para o novo estado.
Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por [1]:
onde 
é a diferença de energia entre o novo e o antigo estado.
Vamos supor que tenhamos os estados e e que temos a relação de energias: 
. Então, a maior das duas chances de aceitação é 
, portanto iremos igualar essa probabilidade a 1.
Para que 
seja respeitada, iremos definir o valor de como 
. Temos, assim, o algoritmo de Metropolis:
Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.
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