Mudanças entre as edições de "Modelo de Potts 2D"

De Física Computacional
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(Algoritmo de Banho Térmico)
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Ou seja, o algoritmo de banho térmico respeita a condição de balanço detalhado.
 
Ou seja, o algoritmo de banho térmico respeita a condição de balanço detalhado.
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Onde ''prog.c'' é o programa que deseja utilizar. E execute da seguinte maneira
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onde o segundo termo é a temperatura do banho térmico e o terceiro é a semente utilizada pelo gerador de números pseudo-aleatórios. Os programas possuem uma diretiva de compilação para visualização do sistema ao decorrer da execução. Para utilizar é necessário ter o gnuplot <ref name=GNUPLOT>https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Gnuplot</ref> instalado e compilar da forma
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Entretanto com a visualização no gnuplot o programa pode demorar mais para executar, então é recomendado diminuir os tempos de transiente (''TRAN'') e medidas (''TMAX'').
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[[Biblioteca com funções em C para simulações de Monte Carlo]]
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== Referências ==
 
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Edição das 18h31min de 16 de maio de 2021

Modelo de Potts

O "modelo de Potts de Q-estados" trata de um sistema de rede com N spins interagentes , onde um spin pode assumir valores discretos . Cada spin do sistema está limitado a interagir com outros spins em sua vizinhança e a energia da interação entre dois spins e é dada pelo potencial

onde é a função delta de Kronecker e é a constante de interação entre os spins. Dessa maneira, a interação entre dois spins vizinhos contabiliza um valor de energia ao sistema apenas se . A hamiltoniana do sistema é dada pela soma entre todas as interações entre spins vizinhos:

Este modelo é tido como uma generalização natural do Modelo de Ising e para o caso ambos modelos são equivalentes a menos de uma constante:

Nesse caso, a interação entre dois spins e assume a mesma dinâmica do modelo de Ising a contribuição para a energia do sistema será

Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos e condições de contorno periódicas. A quantidade de spins no modelo é com interações ferromagnéticas e , favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de para minimizar a energia do sistema.

Método de Monte Carlo

O método de Monte Carlo é aplicado ao modelo de Potts com o objetivo de gerar estados de equilíbrio para medir os observáveis do sistema. Os spins são iniciados com valores aleatórios de Q na rede e o método de Monte Carlo escolhe arbitrariamente um spin e gera um novo valor de para o spin. A partir disso, através de algum algoritmo específico, se escolhe como os estados serão gerados e quais serão aceitos ou não para o sistema transicionar, respeitando as condições de balanço detalhado e ergodicidade das cadeiras markovianas. Para este trabalho, foram estudados os algoritmos de Metropolis-Hasting e o algoritmo de banho térmico.

Algorítmo de Metropolis-Hasting

O primeiro algoritmo utilizado para gerar as configurações do sistema foi o algoritmo de Metropolis-Hasting. O algoritmo escolhe repetidamente um novo estado para o sistema e aceitando ou rejeitando ele de acordo com uma probabilidade de aceitação de transitar de um estado antigo para o novo estado . O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins.

Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por [1]:

onde é a diferença de energia entre o novo e o antigo estado.

Vamos supor que tenhamos os estados e e que temos a relação de energias: . Então, a maior das duas chances de aceitação é , portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. Para que seja respeitada, iremos definir o valor de como . Temos, assim, o algoritmo de Metropolis-Hasting:

Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.

Algoritmo de Banho Térmico

O algoritmo de Metropolis-Hasting para inversão única de spins é eficaz para o modelo de Potts em baixos valores de ou temperaturas acima da temperatura crítica, entretanto para valores altos de ou baixas temperaturas o algoritmo falha convergir o sistema rapidamente para a situação de equilíbrio.

Considerando um caso onde e um spin que possui 4 vizinhos, se todos os vizinhos do spin possuem valores diferentes uns do outro e do próprio spin, poderá levar em média passos de Monte Carlo para sortear um novo valor de que tem a transição aceita, e dessa forma o algoritmo irá demorar mais tempo para alcançar a configuração de equilíbrio do sistema. A dificuldade de aceitar transições é maior ainda para baixas temperaturas, onde a probabilidade de transicionar para um novo estado tem um peso maior para qualquer diferente dos spins da vizinhança, dessa maneira poderá demorar 96 passos para gerar um spin que seja igual a algum spin da vizinhança e realizar a transição. Para contornar este problema podemos utilizar o algoritmo de banho térmico.

O algoritmo de banho térmico, assim como o metropolis, é um algoritmo que mudaremos um spin por vez. O algoritmo segue as seguintes etapas: primeiro escolhemos um spin na rede (), e independente do seu valor atual, escolhemos um novo valor para . Esse novo valor será aceito, ou não, de acordo com a proporção dos pesos de Boltzmann. Temos que no algoritmo de Banho Térmico nós atribuímos um valor , entre 1 e , ao spin com uma probabilidade

Onde é a energia do sistema quando e o somatório é dado em todas energias possíveis. Como com esse algoritmo pode fazer que o spin assuma qualquer valor ele satisfaz a condição de ergodicidade. Temos que e , assim, pela descrição do algoritmo temos

Ou seja, o algoritmo de banho térmico respeita a condição de balanço detalhado.

Programas Utilizados

Programas na linguagem C. Para utilizar os programas, abra o terminal e compile da forma

$ gcc prog.c -lm

Onde prog.c é o programa que deseja utilizar. E execute da seguinte maneira

$ ./a.out TEMP SEED

onde o segundo termo é a temperatura do banho térmico e o terceiro é a semente utilizada pelo gerador de números pseudo-aleatórios. Os programas possuem uma diretiva de compilação para visualização do sistema ao decorrer da execução. Para utilizar é necessário ter o gnuplot [2] instalado e compilar da forma

$ gcc -DGNU prog.c -lm

e então executar da maneira

$ ./a.out TEMP SEED | gnuplot

Entretanto com a visualização no gnuplot o programa pode demorar mais para executar, então é recomendado diminuir os tempos de transiente (TRAN) e medidas (TMAX).


Biblioteca com funções em C para simulações de Monte Carlo


Referências

  1. M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.
  2. https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Gnuplot