Mudanças entre as edições de "Modelo de Potts 2D"

De Física Computacional
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(Algoritmo de Banho Térmico)
(Método de Monte Carlo)
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== Método de Monte Carlo ==
 
== Método de Monte Carlo ==
O método de Monte Carlo é aplicado ao modelo de Potts com o objetivo de gerar estados de equilíbrio para medir os observáveis do sistema. Neste sistema se escolhe aleatoriamente um spin <math>s_i</math> e se gera um novo valor de <math>q\in Q | q \neq s_i</math>. A partir disso, através de algum algoritmo específico, se escolhe como os estados serão gerados e quais serão aceitos ou não para o sistema transicionar, respeitando as condições de balanço detalhado e ergodicidade. Para este trabalho foram estudados os algoritmos de Metropolis-Hasting e o algoritmo de banho térmico
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O método de Monte Carlo é aplicado ao modelo de Potts com o objetivo de gerar estados de equilíbrio para medir os observáveis do sistema. Os <math>N</math> spins são iniciados com valores aleatórios de Q na rede e o método de Monte Carlo escolhe arbitrariamente um spin <math>s_i</math> e gera um novo valor de <math>q\in Q | q \neq s_i</math> para o spin. A partir disso, através de algum algoritmo específico, se escolhe como os estados serão gerados e quais serão aceitos ou não para o sistema transicionar, respeitando as condições de balanço detalhado e ergodicidade das cadeiras markovianas. Para este trabalho, foram estudados os algoritmos de Metropolis-Hasting e o algoritmo de banho térmico.
 
=== Algorítmo de Metropolis-Hasting ===
 
=== Algorítmo de Metropolis-Hasting ===
 
O primeiro algoritmo utilizado para gerar as configurações do sistema foi o algoritmo de Metropolis-Hasting. O algoritmo escolhe repetidamente um novo estado para o sistema <math>\nu</math> e aceitando ou rejeitando ele de acordo com uma probabilidade de aceitação <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math> de transitar de um estado antigo <math>\mu</math> para o novo estado <math>\nu</math>. O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins.
 
O primeiro algoritmo utilizado para gerar as configurações do sistema foi o algoritmo de Metropolis-Hasting. O algoritmo escolhe repetidamente um novo estado para o sistema <math>\nu</math> e aceitando ou rejeitando ele de acordo com uma probabilidade de aceitação <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math> de transitar de um estado antigo <math>\mu</math> para o novo estado <math>\nu</math>. O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins.

Edição das 12h29min de 10 de maio de 2021

Modelo de Potts

O "modelo de Potts de Q-estados" trata de um sistema de rede com N spins interagentes , onde um spin pode assumir valores discretos . Cada spin do sistema está limitado a interagir com outros spins em sua vizinhança e a energia da interação entre dois spins e é dada pelo potencial

onde é a função delta de Kronecker e é a constante de interação entre os spins. Dessa maneira, a interação entre dois spins vizinhos contabiliza um valor de energia ao sistema apenas se . A hamiltoniana do sistema é dada pela soma entre todas as interações entre spins vizinhos:

Este modelo é tido como uma generalização natural do Modelo de Ising e para o caso ambos modelos são equivalentes a menos de uma constante:

Nesse caso, a interação entre dois spins e assume a mesma dinâmica do modelo de Ising a contribuição para a energia do sistema será

Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos e condições de contorno periódicas. A quantidade de spins no modelo é com interações ferromagnéticas com , favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de para minimizar a energia do sistema.

Método de Monte Carlo

O método de Monte Carlo é aplicado ao modelo de Potts com o objetivo de gerar estados de equilíbrio para medir os observáveis do sistema. Os spins são iniciados com valores aleatórios de Q na rede e o método de Monte Carlo escolhe arbitrariamente um spin e gera um novo valor de para o spin. A partir disso, através de algum algoritmo específico, se escolhe como os estados serão gerados e quais serão aceitos ou não para o sistema transicionar, respeitando as condições de balanço detalhado e ergodicidade das cadeiras markovianas. Para este trabalho, foram estudados os algoritmos de Metropolis-Hasting e o algoritmo de banho térmico.

Algorítmo de Metropolis-Hasting

O primeiro algoritmo utilizado para gerar as configurações do sistema foi o algoritmo de Metropolis-Hasting. O algoritmo escolhe repetidamente um novo estado para o sistema e aceitando ou rejeitando ele de acordo com uma probabilidade de aceitação de transitar de um estado antigo para o novo estado . O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins.

Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por [1]:

onde é a diferença de energia entre o novo e o antigo estado.

Vamos supor que tenhamos os estados e e que temos a relação de energias: . Então, a maior das duas chances de aceitação é , portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. Para que seja respeitada, iremos definir o valor de como . Temos, assim, o algoritmo de Metropolis-Hasting:

Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.

Algoritmo de Banho Térmico

O algoritmo de Metropolis-Hasting para inversão única de spins é eficaz para o modelo de Potts em baixos valores de ou temperaturas acima da temperatura crítica, entretanto para valores altos de ou baixas temperaturas o algoritmo falha convergir o sistema rapidamente para a situação de equilíbrio.

Considerando um caso onde e um spin que possui 4 vizinhos, se todos os vizinhos do spin possuem valores diferentes uns do outro e do próprio spin, poderá levar em média passos de Monte Carlo para sortear um novo valor de que tem a transição aceita, e dessa forma o algoritmo irá demorar mais tempo para alcançar a configuração de equilíbrio do sistema. A dificuldade de aceitar transições é maior ainda para baixas temperaturas, onde a probabilidade de transicionar para um novo estado tem um peso maior para qualquer diferente dos spins da vizinhança, dessa maneira poderá demorar 96 passos para gerar um spin que seja igual a algum spin da vizinhança e realizar a transição. Para contornar este problema podemos utilizar o algoritmo de banho térmico.
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