Mudanças entre as edições de "Modelo de Potts 2D"

De Física Computacional
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(Método de Monte Carlo)
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== Método de Monte Carlo ==
 
== Método de Monte Carlo ==
O método de Monte Carlo é aplicado ao modelo de Potts com o objetivo de gerar estados de equilíbrio para medir os observáveis do sistema. Neste sistema se escolhe aleatoriamente um spin <math>s_i</math> e se gera um novo valor de <math>q\in Q | q \neq s_i</math>.
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O método de Monte Carlo é aplicado ao modelo de Potts com o objetivo de gerar estados de equilíbrio para medir os observáveis do sistema. Neste sistema se escolhe aleatoriamente um spin <math>s_i</math> e se gera um novo valor de <math>q\in Q | q \neq s_i</math>. A partir disso, através de algum algoritmo específico, se escolhe como os estados serão gerados e quais serão aceitos ou não para o sistema transicionar, respeitando as condições de balanço detalhado e ergodicidade. Para este trabalho foram estudados os algoritmos de Metropolis-Hasting e o algoritmo de
=== Algorítmo de Metrópolis ===
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=== Algorítmo de Metropolis-Hasting ===
O primeiro algoritmo utilizado para gerar as configurações do sistema foi o algoritmo de Metropolis. O algoritmo escolhe repetidamente um novo estado para o sistema <math>\nu</math> e aceitando ou rejeitando ele de acordo com uma probabilidade de aceitação <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math> de transitar de um estado antigo <math>\mu</math> para o novo estado <math>\nu</math>. O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins.
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O primeiro algoritmo utilizado para gerar as configurações do sistema foi o algoritmo de Metropolis-Hasting. O algoritmo escolhe repetidamente um novo estado para o sistema <math>\nu</math> e aceitando ou rejeitando ele de acordo com uma probabilidade de aceitação <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math> de transitar de um estado antigo <math>\mu</math> para o novo estado <math>\nu</math>. O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins.
  
 
Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por <ref>M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.</ref>:
 
Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por <ref>M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.</ref>:
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Vamos supor que tenhamos os estados <math>\mu</math> e <math>\nu</math> e que temos a relação de energias: <math>E_\mu < E_\nu</math>. Então, a maior das duas chances de aceitação é <math>A(\nu \rightarrow \mu)</math>, portanto iremos igualar essa probabilidade a 1.  
 
Vamos supor que tenhamos os estados <math>\mu</math> e <math>\nu</math> e que temos a relação de energias: <math>E_\mu < E_\nu</math>. Então, a maior das duas chances de aceitação é <math>A(\nu \rightarrow \mu)</math>, portanto iremos igualar essa probabilidade a 1.  
Para que <math>(3)</math> seja respeitada, iremos definir o valor de <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math> como <math>e^{-\frac{\Delta E}{k_BT}}</math>. Temos, assim, o algoritmo de Metropolis:
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Para que <math>(3)</math> seja respeitada, iremos definir o valor de <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math> como <math>e^{-\frac{\Delta E}{k_BT}}</math>. Temos, assim, o algoritmo de Metropolis-Hasting:
  
 
<math>A(\mu \rightarrow \nu) = \begin{cases}
 
<math>A(\mu \rightarrow \nu) = \begin{cases}
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=== Algoritmo de Banho Térmico ===
 
=== Algoritmo de Banho Térmico ===
  
O algoritmo de Metropolis para inversão única de spins é eficaz para o modelo de Potts em baixos valores de <math>Q</math> ou temperaturas acima da temperatura crítica, entretanto para valores altos de <math>Q</math> ou baixas temperaturas o algoritmo falha em gerar estados com maiores probabilidades de transição, que são estados onde o novo valor de um spin é igual ao spin de outros spins interagentes. Considerando um caso onde <math>Q = 100</math> e um spin que possui 4 vizinhos, se todos os vizinhos do spin possuem valores diferentes uns do outro e do próprio spin, poderá levar em média <math>100/4 = 25</math> passos de Monte Carlo para sortear um spin com maior probabilidade de aceitação de transição, e dessa forma o algoritmo irá demorar mais tempo para alcançar a configuração de equilíbrio do sistema. Para contornar este problema podemos utilizar o algoritmo de banho térmico.
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O algoritmo de Metropolis-Hasting para inversão única de spins é eficaz para o modelo de Potts em baixos valores de <math>Q</math> ou temperaturas acima da temperatura crítica, entretanto para valores altos de <math>Q</math> ou baixas temperaturas o algoritmo falha em gerar estados com maiores probabilidades de transição, que são estados onde o novo valor de um spin é igual ao spin de outros spins interagentes. Considerando um caso onde <math>Q = 100</math> e um spin que possui 4 vizinhos, se todos os vizinhos do spin possuem valores diferentes uns do outro e do próprio spin, poderá levar em média <math>100/4 = 25</math> passos de Monte Carlo para sortear um spin com maior probabilidade de aceitação de transição, e dessa forma o algoritmo irá demorar mais tempo para alcançar a configuração de equilíbrio do sistema. Para contornar este problema podemos utilizar o algoritmo de banho térmico.

Edição das 00h27min de 10 de maio de 2021

Modelo de Potts

O "modelo de Potts de Q-estados" trata de um sistema de rede com N spins interagentes , onde um spin pode assumir valores discretos . Cada spin do sistema está limitado a interagir com outros spins em sua vizinhança e a energia da interação entre dois spins e é dada pelo potencial

onde é a função delta de Kronecker e é a constante de interação entre os spins. Dessa maneira, a interação entre dois spins vizinhos contabiliza um valor de energia ao sistema apenas se . A hamiltoniana do sistema é dada pela soma entre todas as interações entre spins vizinhos:

Este modelo é tido como uma generalização natural do Modelo de Ising e para o caso ambos modelos são equivalentes a menos de uma constante:

Nesse caso, a interação entre dois spins e assume a mesma dinâmica do modelo de Ising a contribuição para a energia do sistema será

Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos e condições de contorno periódicas. A quantidade de spins no modelo é com interações ferromagnéticas com , favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de para minimizar a energia do sistema.

Método de Monte Carlo

O método de Monte Carlo é aplicado ao modelo de Potts com o objetivo de gerar estados de equilíbrio para medir os observáveis do sistema. Neste sistema se escolhe aleatoriamente um spin e se gera um novo valor de . A partir disso, através de algum algoritmo específico, se escolhe como os estados serão gerados e quais serão aceitos ou não para o sistema transicionar, respeitando as condições de balanço detalhado e ergodicidade. Para este trabalho foram estudados os algoritmos de Metropolis-Hasting e o algoritmo de

Algorítmo de Metropolis-Hasting

O primeiro algoritmo utilizado para gerar as configurações do sistema foi o algoritmo de Metropolis-Hasting. O algoritmo escolhe repetidamente um novo estado para o sistema e aceitando ou rejeitando ele de acordo com uma probabilidade de aceitação de transitar de um estado antigo para o novo estado . O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins.

Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por [1]:

onde é a diferença de energia entre o novo e o antigo estado.

Vamos supor que tenhamos os estados e e que temos a relação de energias: . Então, a maior das duas chances de aceitação é , portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. Para que seja respeitada, iremos definir o valor de como . Temos, assim, o algoritmo de Metropolis-Hasting:

Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.

Algoritmo de Banho Térmico

O algoritmo de Metropolis-Hasting para inversão única de spins é eficaz para o modelo de Potts em baixos valores de ou temperaturas acima da temperatura crítica, entretanto para valores altos de ou baixas temperaturas o algoritmo falha em gerar estados com maiores probabilidades de transição, que são estados onde o novo valor de um spin é igual ao spin de outros spins interagentes. Considerando um caso onde e um spin que possui 4 vizinhos, se todos os vizinhos do spin possuem valores diferentes uns do outro e do próprio spin, poderá levar em média passos de Monte Carlo para sortear um spin com maior probabilidade de aceitação de transição, e dessa forma o algoritmo irá demorar mais tempo para alcançar a configuração de equilíbrio do sistema. Para contornar este problema podemos utilizar o algoritmo de banho térmico.
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