Mudanças entre as edições de "Modelo de Potts 2D"

De Física Computacional
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Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos. A quantidade de spins no modelo é <math>N = L\times L</math> com interações ferromagnéticas com <math>J = 1</math>, favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de <math>q</math> para minimizar a energia do sistema.
 
Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos. A quantidade de spins no modelo é <math>N = L\times L</math> com interações ferromagnéticas com <math>J = 1</math>, favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de <math>q</math> para minimizar a energia do sistema.
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== Método de Monte Carlo ==
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=== Algorítmo de Metrópolis ===
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Para o método de Monte Carlo responsável por gerar configurações do sistema, utilizaremos o Algorítmo de Metropolis. O algoritmo funcionará escolhendo repetidamente um novo estado <math>\nu</math> e aceitando ou rejeitando o estado de acordo com uma probabilidade de aceitação <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math> de transitar de um estado antigo <math>\mu</math> para o novo estado <math>\nu</math>. O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins, onde apenas um spin será invertido aleatoriamente para termos um novo estado a ser testado.
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É válido notar que a dinâmica de inversão única de spins não é o que caracteriza o método de Metropolis, pois ainda poderíamos ter esse método ao utilizarmos uma dinâmica com mais spins sendo invertidos simultaneamente.
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Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por <ref>M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.</ref>:
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<math>\frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = e^{-\frac{\Delta E}{k_BT}}, \qquad (3)</math>
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onde <math>\Delta E = E_\nu - E_\mu</math>.
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Vamos supor que tenhamos os estados <math>\mu</math> e <math>\nu</math> e que temos a relação de energias: <math>E_\mu < E_\nu</math>. Então, a maior das duas chances de aceitação é <math>A(\nu \rightarrow \mu)</math>, portanto iremos igualar essa probabilidade a 1.
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Para que <math>(3)</math> seja respeitada, iremos definir o valor de <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math> como <math>e^{-\frac{\Delta E}{k_BT}}</math>. Temos, assim, o algoritmo de Metropolis:
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<math>A(\mu \rightarrow \nu) = \begin{cases}
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e^{-\frac{\Delta E}{k_BT}}, \qquad \text{se } \Delta E > 0\\\\
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1, \qquad \qquad \text{caso contrario}.
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\end{cases}</math>
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Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.

Edição das 21h04min de 9 de maio de 2021

Modelo de Potts

O "modelo de Potts de Q-estados" trata de um sistema de rede com N spins interagentes , onde um spin pode assumir valores discretos . Cada spin do sistema está limitado a interagir com outros spins em sua vizinhança e a energia da interação entre dois spins e é dada pelo potencial

onde é a função delta de Kronecker e é a constante de interação entre os spins. Dessa maneira, a interação entre dois spins vizinhos contabiliza um valor de energia ao sistema apenas se . A hamiltoniana do sistema é dada pela soma entre todas as interações entre spins vizinhos:

Este modelo é tido como uma generalização natural do Modelo de Ising e para o caso ambos modelos são equivalentes a menos de uma constante:

Nesse caso, a interação entre dois spins e assume a mesma dinâmica do modelo de Ising a contribuição para a energia do sistema será

Neste trabalho, o modelo de Potts foi estudado em uma rede quadrada 2D com vizinhança de von Neumann para primeiros vizinhos. A quantidade de spins no modelo é com interações ferromagnéticas com , favorecendo vizinhanças de spins que compartilham o mesmo valor de para minimizar a energia do sistema.

Método de Monte Carlo

Algorítmo de Metrópolis

Para o método de Monte Carlo responsável por gerar configurações do sistema, utilizaremos o Algorítmo de Metropolis. O algoritmo funcionará escolhendo repetidamente um novo estado e aceitando ou rejeitando o estado de acordo com uma probabilidade de aceitação de transitar de um estado antigo para o novo estado . O algoritmo que iremos descrever utiliza a dinâmica de inversão única de spins, onde apenas um spin será invertido aleatoriamente para termos um novo estado a ser testado. É válido notar que a dinâmica de inversão única de spins não é o que caracteriza o método de Metropolis, pois ainda poderíamos ter esse método ao utilizarmos uma dinâmica com mais spins sendo invertidos simultaneamente.

Temos que a condição de balanceamento detalhado é dada por [1]:

onde .

Vamos supor que tenhamos os estados e e que temos a relação de energias: . Então, a maior das duas chances de aceitação é , portanto iremos igualar essa probabilidade a 1. Para que seja respeitada, iremos definir o valor de como . Temos, assim, o algoritmo de Metropolis:

Dessa forma, sempre que tivermos um estado cuja energia seja menor do que a do estado atual, iremos aceitar a transição, mas se a energia for maior, teremos uma pequena probabilidade de trocarmos de estado.
Erro de citação: existem marcas <ref>, mas nenhuma marca <references/> foi encontrada