Modelo de Potts 2D

Modelo de Potts

O "modelo de Potts de Q-estados" trata de um sistema de rede com N spins interagentes $s=\{s_{1},s_{2},..s_{i},...s_{N}\}$, onde um spin $s_{i}$ pode assumir valores discretos $q\in {\{0,1,2,...,Q-2,Q,Q-1\}}$. Cada spin do sistema está limitado a interagir com outros spins em sua vizinhança e a energia da interação entre dois spins $s_{i}$ e $s_{j}$ é dada pelo potencial

$V(s_{i},s_{j})=-J\delta {(s_{i},s_{j})}$

onde $\delta {(s_{i},s_{j})}$ é a função delta de Kronecker e $J$ é a constante de interação entre os spins. Dessa maneira, a interação entre dois spins vizinhos contabiliza um valor $-J$ de energia ao sistema apenas se $s_{i}=s_{j}$. A hamiltoniana do sistema é dada pela soma entre todas as interações entre spins vizinhos:

${\mathcal {H}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\delta {(s_{i},s_{j})}}$

Este modelo é tido como uma generalização natural do Modelo de Ising e para o caso $Q=2$ ambos modelos são equivalentes a menos de uma constante:

${\mathcal {H}}_{ising}={\mathcal {H}}_{potts}+\sum _{\langle i,j\rangle }{\frac {J}{2}}=-{\frac {J}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }(2\delta (s_{i},s_{j})-1)$

Nesse caso, a interação entre dois spins $s_{i}$ e $s_{j}$ assume a mesma dinâmica do modelo de Ising a contribuição para a energia do sistema será

$V(s_{i},s_{j})={\begin{cases}-{\frac {J}{2}},\quad {\text{se }}s_{i}=s_{j}\\{\frac {J}{2}},\quad {\text{se }}s_{i}\neq s_{j}\end{cases}}$