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Edição das 19h46min de 12 de abril de 2021
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No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:
- Na ausência de predadores, a população de presas aumenta a uma taxa proporcional à população atual;
- Na ausência de presas, os predadores irão à extinção;
- O número de encontro entre presas e predadores é proporcional a produto das duas populações.
- Estes encontros beneficiam os predadores em detrimento das presas.
Dessa forma, as equações são:
Onde:
taxa de crescimento de presas sem predadores;
taxa de decréscimo da população de presas devido a predação;
taxa de mortalidade da população de predadores sem presas;
: taxa de crescimento de predadores devido a predação.
Índice
Separação de variáveis
Utilizando a separação de variáveis, temos:
Logo:
Integrando ambos os lados:
Onde 
é uma constante de integração. Para plotarmos um gráfico, considerando apenas 
Temos então:
Um ponto de equilíbrio fora da origem é obtido quando:
Então neste caso, o sistema oscila em torno de 
e a constante é definida pelas condições iniciais 
. Para a condição em que 
, então:
Então para este conjunto de parâmetros e condições iniciais: 
Neste caso o sistema vai permanecer no ponto de equilíbrio. Para outras condições iniciais, o sistema vai oscilar em torno do ponto de equilíbrio. Obviamente além do ponto , temos um ponto de equilíbrio em 
. Vamos analisar a dinâmica na vizinhança dos pontos através de um processo simples de linearização.
com as condições 
e condição inicial arbitrária, plotado no Linearização em torno do ponto de equilíbrio
Primeiro podemos perceber que o sistema é quase-linear em torno de , verificando que satisfaz:
Então lembrando as equações:
Logo:
Desprezando então os termos não lineares podemos escrever o seguinte sistema linearizado em torno da origem:
Calculando os autovalores da matriz, obtemos então:
os seguintes autovalores 
. Como um dos valores tem parte real positiva, então é um ponto instável, especificamente devido aos sinais opostos é um ponto de sela. Como é instável significa que se a condição inicial for próxima de , a evolução do sistema vai se afastar do ponto de equilíbrio. Essa aproximação também indica que próximo do ponto de equilíbrio, a dinâmica pode ser descrita tanto pelo conjunto de equações não lineares, como pelo sistema linear.
Agora o segundo ponto de equilíbrio, de maneira geral é 
. Primeiro reescrevemos o sistema em torno do ponto de equilíbrio, isto é, fazemos um deslocamento 
e 
. Então temos 
e 
e substituindo, para 
:
E para 
:
Podemos analisar o comportamento em torno do ponto de equilíbrio:
Desprezando os termos não lineares então:
Então os autovalores correspondentes:
Como temos raízes puramente imaginárias e 
, temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio.
Segundo método de Lyapunov
Para avaliar o ponto 
, podemos usar de maneira análoga ao exemplo do segundo critério de Lyapunov:
Como já discutimos 
e a região 
onde 
para 
, sendo 
um ponto de acumulação em 
[2]. Então:
Lembrando do nosso segundo ponto de equilíbrio 
:
Então se estamos próximos suficiente do ponto de equilíbrio em análise , temos então uma instabilidade local pois 
é positivo definido em , uma vez que 
, 
. Olhando o segundo ponto de equilíbrio, , podemos manipular as equações da seguinte forma:
Definindo então a seguinte função de Lyapunov:
Analisando no ponto de e equilíbrio, temos:
Agora precisamos que para 
tenhamos 
, na região próxima ao ponto de equilíbrio. Separando em dois termos:
De forma geral temos 
, e precisamos que 
quando 
. Além de ser facilmente visto via gráfico para todos os valores aceitáveis 
, também podemos analisar a seguinte desigualdade:
Podemos ver quer a desigualdade desigualdade é válida exceto se 
. Mas como fizemos a seguinte substituição 
então 
, e de fato que queremos que seja positiva definida fora do ponto de equilíbrio. Uma vez que sabemos que 
é positivo definido, calculamos então:
Então:
Temos então a condição de estabilidade 
concordando como que já havíamos obtidos anteriormente.
Solução numérica
Um exemplo resolvido numericamente pode ser visto em Modelo de Lotka-Volterra amortecido, onde foi aproveitado os códigos desenvolvidos para este mesmo.
Principais materiais utilizados
- A survey of constructing Lyapunov functions for mathematical models in population biology (Sze-Bi, Revista Taiwanesa de Matemática )
- Estabilidade de pontos de equilíbrio e existência de soluções periódicas em alguns modelos bidimensionais (Salvador Tavares de Oliveira, UNESP)
- Modelagem Matemática e estabilidade de sistemas predador-presa (Paulo Laerte Natti e outros, UEL)
- Modelo de Lotka-Volterra: a dinâmica predador-presa (Rafael Biasi Pata e Elisa Regina Cara, UNIPAMPA)
Citações
- ↑ Análise de sistemas não-lineares (Vilma A. Oliveira e José Ricardo Rosolen, USP)
- ↑ Stability Analysis of Nonlinear Systems (Roberto Zanasi, Universidade de Módena e Reggio Emília)
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