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| Como temos raízes puramente imaginárias e <math display="inline">\lambda_{1}=\lambda_{2}^{*}</math>, temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de <math display="inline">\left(\frac{c}{\gamma},\frac{a}{\alpha}\right)</math> o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio. | | Como temos raízes puramente imaginárias e <math display="inline">\lambda_{1}=\lambda_{2}^{*}</math>, temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de <math display="inline">\left(\frac{c}{\gamma},\frac{a}{\alpha}\right)</math> o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio. |
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| Então:<math display="block">\dot{V}\left(\boldsymbol{x}\right)=\alpha\left(x-x_{2}\right)\left(y_{2}-y\right)-\alpha\left(y_{2}-y\right)\left(x-x_{2}\right)=0</math>Temos então a condição de estabilidade <math display="inline">\dot{V}\leq0</math> concordando como que já havíamos obtidos anteriormente. | | Então:<math display="block">\dot{V}\left(\boldsymbol{x}\right)=\alpha\left(x-x_{2}\right)\left(y_{2}-y\right)-\alpha\left(y_{2}-y\right)\left(x-x_{2}\right)=0</math>Temos então a condição de estabilidade <math display="inline">\dot{V}\leq0</math> concordando como que já havíamos obtidos anteriormente. |
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No modelo de Lotka-Volterra temos as seguintes considerações:
- Na ausência de predadores, a população de presas aumenta a uma taxa proporcional à população atual;
- Na ausência de presas, os predadores irão à extinção;
- O número de encontro entre presas e predadores é proporcional a produto das duas populações.
- Estes encontros beneficiam os predadores em detrimento das presas.
Dessa forma, as equações são:
Onde:
- taxa de crescimento de presas sem predadores;
- taxa de decréscimo da população de presas devido a predação;
- taxa de mortalidade da população de predadores sem presas;
- : taxa de crescimento de predadores devido a predação.
Separação de variáveis
Utilizando a separação de variáveis, temos:
Logo:
Integrando ambos os lados:
Onde é uma constante de integração. Para plotarmos um gráfico, considerando apenas Temos então:
Um ponto de equilíbrio fora da origem é obtido quando:
Então neste caso, o sistema oscila em torno de e a constante é definida pelas condições iniciais . Para a condição em que , então:
Então para este conjunto de parâmetros e condições iniciais:
Neste caso o sistema vai permanecer no ponto de equilíbrio. Para outras condições iniciais, o sistema vai oscilar em torno do ponto de equilíbrio. Obviamente além do ponto , temos um ponto de equilíbrio em . Vamos analisar a dinâmica na vizinhança dos pontos através de um processo simples de linearização.
com as condições
e condição inicial arbitrária, plotado no
GeoGebra.
Linearização em torno do ponto de equilíbrio
Primeiro podemos perceber que o sistema é quase-linear em torno de , verificando que satisfaz:
Então lembrando as equações:
Logo:
Desprezando então os termos não lineares podemos escrever o seguinte sistema linearizado em torno da origem:
Calculando os autovalores da matriz, obtemos então:
os seguintes autovalores . Como um dos valores tem parte real positiva, então é um ponto instável, especificamente devido aos sinais opostos é um ponto de sela. Como é instável significa que se a condição inicial for próxima de , a evolução do sistema vai se afastar do ponto de equilíbrio. Essa aproximação também indica que próximo do ponto de equilíbrio, a dinâmica pode ser descrita tanto pelo conjunto de equações não lineares, como pelo sistema linear.
Agora o segundo ponto de equilíbrio, de maneira geral é . Primeiro reescrevemos o sistema em torno do ponto de equilíbrio, isto é, fazemos um deslocamento e . Então temos e e substituindo, para :
E para
:
Podemos analisar o comportamento em torno do ponto de equilíbrio:
Desprezando os termos não lineares então:
Então os autovalores correspondentes:
Como temos raízes puramente imaginárias e , temos um centro, ponto de estabilidade. Isto é, se a condição inicial for próxima de o sistema evoluirá de forma que o estado do sistema permanecerá próximo do ponto de equilíbrio.
Classificação dos pontos de estabilidade de acordo com os autovalores
[1].
Segundo método de Lyapunov
Para avaliar o ponto , podemos usar de maneira análoga ao exemplo do segundo critério de Lyapunov:
Como já discutimos e a região onde para , sendo um ponto de acumulação em [2]. Então:
Lembrando do nosso segundo ponto de equilíbrio
:
Então se estamos próximos suficiente do ponto de equilíbrio em análise , temos então uma instabilidade local pois é positivo definido em , uma vez que , . Olhando o segundo ponto de equilíbrio, , podemos manipular as equações da seguinte forma:
Definindo então a seguinte função de Lyapunov:
Analisando no ponto de e equilíbrio, temos:
Agora precisamos que para tenhamos , na região próxima ao ponto de equilíbrio. Separando em dois termos:
De forma geral temos , e precisamos que quando . Além de ser facilmente visto via gráfico para todos os valores aceitáveis , também podemos analisar a seguinte desigualdade:
Podemos ver quer a desigualdade desigualdade é válida exceto se
. Mas como fizemos a seguinte substituição
então
, e de fato que queremos que seja positiva definida fora do ponto de equilíbrio. Uma vez que sabemos que
é positivo definido, calculamos então:
Então:
Temos então a condição de estabilidade
concordando como que já havíamos obtidos anteriormente.
Solução numérica
Um exemplo resolvido numericamente pode ser visto em Modelo de Lotka-Volterra amortecido, onde foi aproveitado os códigos desenvolvidos para este mesmo.
Principais materiais utilizados
- A survey of constructing Lyapunov functions for mathematical models in population biology (Sze-Bi, Revista Taiwanesa de Matemática )
- Estabilidade de pontos de equilíbrio e existência de soluções periódicas em alguns modelos bidimensionais (Salvador Tavares de Oliveira, UNESP)
- Modelagem Matemática e estabilidade de sistemas predador-presa (Paulo Laerte Natti e outros, UEL)
- Modelo de Lotka-Volterra: a dinâmica predador-presa (Rafael Biasi Pata e Elisa Regina Cara, UNIPAMPA)
Citações