Mudanças entre as edições de "Modelo de Levins aprimorado para 3 espécies"
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Edição das 02h10min de 28 de abril de 2021
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Para três espécies o modelo de Levins se torna:
Guanaco
Podemos perceber que é a mesma equação para a presa no modelo de duas 2 espécies, proporcional a população atual.
O termo responsável pelo aumento na população é o que representa a colonização. Podemos pensar em termos probabilísticos, que temos 3 eventos independentes:
- Probabilidade
de selecionar um fragmento com um guanaco disponível para tentar a colonização;
- Probabilidade
selecionar um fragmento disponível para ser colonizado;
- Probabilidade
de que cada tentativa de colonização tenha sucesso.
A queda na população acontece por dois termos que representam dois eventos diferentes:
- Extinção local: depende da taxa
. Temos como dois eventos independentes a probabilidade 
selecionar um fragmento com guanaco e a probabilidade 
de que cada guanaco sofra a extinção local.
- Predação: depende da população de predadores
e a taxa de predação 
. Novamente podemos interpretar como três eventos independentes. Probabilidade 
de selecionarmos uma puma, probabilidade de selecionarmos um guanaco e probabilidade 
de ocorrer a predação a cada encontro. Assim como o modelo de Lotka-Volterra, a predação é proporcional a população de ambas as espécies.
Ovelha
A ovelha talvez tenha a dinâmica mais complexa do sistema, pois é tanto um competidor inferior ao gunaco, quanto uma presa para o puma, e isso interfere diretamente nos fragmentos disponíveis para a colonização. Pensando em probabilidade e conectando a probabilidade de ocorrer a colonização, é dada pela probabilidade de que cada tentativa de colonização tenha sucesso 
e a probabilidade de selecionarmos um fragmento disponível pra as ovelhas é 
. Lembrando que para o caso do guanaco, isso era apenas:
Pois probabilidade de selecionarmos um fragmento destruído é 
, e de selecionarmos um fragmento ocupado por guanacos é , e são eventos independentes, isto é, nunca temos um fragmento destruído com guanacos. Então a probabilidade de selecionarmos um fragmento que o guanaco não pode colonizar é dado por 
, uma vez que são eventos mutuamente exclusivos. Por complementaridade a probabilidade de selecionarmos um fragmento que o guanaco pode colonizar é dado por 
.
Agora precisamos considerar os fragmentos que estão destruídos e os ocupados por ovelhas ou guanacos. Mas a ocupação de guanacos e ovelhas não é exclusiva, isto é, temos fragmentos ocupados por guanacos e ovelhas. Então a probabilidade de selecionarmos um fragmento ocupado por guanaco ou ovelha é dado por 
, uma vez são eventos independentes. Sendo assim a probabilidade de selecionarmos um fragmento indisponível é dado por 
. E novamente recorrendo a complementaridade, a probabilidade de selecionarmos um fragmento disponível para a ovelha é dada por então por 
.
De resto, a população diminui de forma semelhante ao guanaco:
- Termo de extinção local: proporcional a taxa de extinção local
;
- Termo de predação: proporcional a população de predadores e a taxa de predação
.;
- Termo de deslocamento: ocorre devido a competição hierárquica e matematicamente é idêntico a predação, apenas substituímos
e 
.
Puma
, e não temos predação, pois o puma é próprio predador. 
. Além disso, também precisamos descontar os fragmentos que já estão ocupados por pumas, então precisamos descontar os que possuem guanaco e puma 
, ovelha e puma 
. Porém novamente, não podemos descontar duas vezes os fragmentos que possuem ovelha, guanaco e puma, então é necessário "devolver" 
. Temos então:
Como são todos eventos independentes:
E substituindo as probabilidades pelas frações:
E como 
, podemos reescrever como:
Ou ainda:
Denotando o espaço complementar como 
:
Ou seja o termo de colonização é proporcional aos fragmentos ocupados pelas ovelhas e guanacos 
e os fragmentos livres das pumas 
Principal material utilizado
- Mathematical model of livestock and wildlife: Predationand competition under environmental disturbances (Fabiana Laguna e outros, Ecological Modelling)
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