Modelo de Keller-Segel para relação população-economia

De Física Computacional
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Grupo: Leonardo Barcelos, Luana Bianchi e Rubens Borrasca

O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de Keller-Segel, que originalmente descreve chemotaxis: movimento de organismo em direção ou contra algum sinal químico, para um sistema englobando população e atividade econômica. O método computacional utilizado para resolver o problema e implementar o modelo foi o FTCS (Forward Time Centered Space) para uma dimensão e FTCS utilizando o algoritmo de Gauss-Seidel para duas dimensões.

Modelo de Keller-Segel

Proposto por Evelyn Fox Keller, física norte-americana, e Lee Aaron Segel, matemático também norte-americano, o modelo de Keller-Segel foi historicamente utilizado para descrever o movimento de bactérias. Introduzido primeiramente em 1970 para descrever a agregação de uma espécie de bolor limoso (ou slime mold) ameboide, Dictyostelium discoideum, o modelo se tornou um dos mais usados nos estudos biológicos-matemáticos. As células deste slime mold se comportam como amoebas individuais, e se alimentam de bactérias, mas quando a quantidade de comida fica pequena, elas se difundem pelo espaço e então se agregam em formato mais alongado, como o formato das lesmas, para uma migração de longa distância. Keller e Segel desenvolveram um modelo matemático para o processo de agregação, em que a chemotaxis tem papel crítico na auto-ormanização das células.

Baseados no que já era conhecido sobre esses organismos, Keller e Segel utilizaram as seguintes premissas:

  • As células estão inicialmente distribuídas sobre o espaço de maneira mais ou menos homogênea, com algumas flutuações aleatótias;
  • As células apresentam chemotaxis em direção ao sinal químico denominado cAMP (cyclic adenosine monophosphate);
  • As células produzem moléculas cAMP;
  • As células e as moléculas cAMP difundem pelo espaço;
  • As células não morrem e não se dividem

De forma simplificada, ocultando alguns detalhes biológicos mais complicados a equação de Keller-Segel é a seguinte:

em que e são respectivamente as variáveis de estado para a concentração de células e a concentração de cMAP. é o parâmetro de mobilidade das células, é o parâmetro da chemotaxis celular, é a constante de difusão das moléculas cAMP, é a taxa de secreção de cMAP pelas células, e é a taxa de decaimento das moléculas cMAP.


Aplicação população-economia

De forma parecida com as premissas de Keller e Segel, os seguintes pontos são assumidos para modelar a relação entre a população e a atividade econômica:

  • A população não cresce e não decresce ao longo do tempo;
  • A economia é ativada por existir mais pessoas em uma região;
  • Sem pessoas a atividade econômica diminui;
  • População e atividade econômica difundem gradualmente;
  • As pessoas são atraídas por regiões com maior atividade econômica

Traduzindo estes pontos em equações matemáticas, se obtêm as seguintes equações:

em que representa a população e a atividade econômica. é a constante que determina a taxa de produção de atividade econômica per capita, é a constante da taxa de decaimento da atividade econômica, e são as constantes de difusão da população e da economia respectivamente, e é a constante que afeta a velocidade média do movimento da população.

Comparando o sistema obtido com o problema original de Keller-Segel, percebe-se que se trocarmos células por pessoas e cMAP por atividade econômica os problemas ficam iguais, e até se poderia denominar como moneytaxis a migração das pessoas em direção a atividade econômica, como a chemotaxis descreve o moviemnto das células

cMAP é uma substância que atrai as células e por isso acaba formando clusters de células no organismo. Daí o paralelo com o dinheiro, que "atrai" as pessoas.

Métodos Computacionais

FTCS

FTCS Gauss-Seidel

Resultados

1D

Com o intuito de testar melhor a equação e suas consequências, os resultados foram divididos em várias simulações diferentes.

/* População e Dinheiro em pontos separados */

Para esta simulação, considera-se que no tempo 0, toda a população está concentrada em 1 ponto, enquanto todo o dinheiro está em um outro ponto distante.

Os parâmetros utilizados foram:

2D

Discussão

Programas

Referências

Sayama

Scherrer

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