Mudanças entre as edições de "Modelo de Fitzhugh-Nagumo para o potencial de ação em neurônios"

De Física Computacional
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(Modelo FitzHung-Nagumo 2D)
(Equação de Recuperação 1D)
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A^{n+1}e^{i(jq \Delta x)}
+
A^{n+1}e^{i(jq \Delta x)} = A^{n}e^{i(jq \Delta x)}-\Delta t \epsilon \gamma e^{i(lq \delta x)}
 
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Edição das 12h46min de 3 de abril de 2021

Grupo: Bernardo Boatini, Murilo Kessler Azambuja e Natália Ferrazzo

O objetivo deste trabalho é implementar e estudar a dinâmica do modelo Fitzhugh-Nagumo para potenciais de ação em células e tecidos excitáveis. O método computacional utilizado para resolver os problemas e implementar o modelo foi o FTCS (Forward Time Centered Space) e o método de Crank-Nicolson.

Potencial de Ação em Neurônios

A células vivas são sistemas eletricamente sensíveis, ou seja, podem reagir a estímulos elétricos. Isso se dá devido ao fato de que substâncias carregadas estão naturalmente vinculadas a seus processos internos de interação com o ambiente, principalmente por intermédio de canais iônicos e proteínas transmebrana como, por exemplo, a Bomba de Sódio e Potássio (Bomba Na⁺/K⁺ ATPase)[1].

Naturalmente todas as células vivas possuem um potencial de repouso (PR) elétrico, ou seja, uma diferença de potencial elétrico, em relação ao meio (cerca de 0,1); mantida por um equilíbrio químico de concentração de íons dentro e fora da membrana plasmática.

Existem células que reagem estímulos elétricos apenas reestabelecendo o PR original por transporte passivo (sem gasto de energia) através da membrana, e estas são ditas células não-excitáveis.

Por outro lado, existem células que sob a ação do mesmo estímulo produzem um tipo de resposta bem característica: potencial de ação (PA); um pulso elétrico intenso (capaz de inverter a polarização do Potencial de Membrana) que se propaga ao longo da membrana da célula, sustentado por uma cadeia de transportes ativos (com gasto de energia) e que não decai ao longo do tempo e espaço; a esse tipo de células damos o nome de excitáveis[1].

Os Neurônios são as células excitáveis do tecido nervoso (que constituem o encéfalo e medula espinhal, gânglios e nervos do reino animal) e com já vimos são capazes de gerar PA. Um potencial de ação pode assumir diversos formatos, mas ao longo do axônio (Figura 1) de um neurônio eles tendem a uma curva como a da Figura 2.

Figura 1 -Representação de um potencial de ação(vermelho) ao longo de um axônio de neurônio, partindo do soma neural em direção a arvore dentrítica.
Figura 2 -Curva de um Potencial de Ação genérico no tempo, em um ponto do axônio de um neurônio.

Olhando para Figura 2 vemos alguns aspectos importantes:

  • O potencial de ação necessita de um estímulo mínimo (limiar) para ser ativado, abaixo desse valor o estímulo decai como em uma célula não excitável;
  • Acima desse limiar a célula segue o principio de "Tudo ou Nada", ou seja, assume o valor máximo possivel dentro de sua capacidade, independente do estímulo aplicado;
  • A etapa de despolarização (crescimento) é brusca e varia mais rapidamente que a repolarização (decaimento);
  • O período que contém a repolarização e hiperpolarização da membrana é chamado período refratário, e se caracteriza por não permitir que ocorra nenhum disparo até que a membrana atinja o potencial de repouso.

Modelo

Premissa do modelo

Para iniciar a modelagem do sistema, devemos antes enfatizar três condições básicas que o potencial deve obedecer para que seja um PA [2]:

  • Deve existir um limiar de voltagem para que um estímulo desencadeie o PA;
  • Uma vez atingido o limiar, a voltagem deve aumentar até o máximo possível;
  • Caso o estímulo não atinja o limiar, ele deve desaparecer rapidamente.

Podemos então definir como a variável normalizada que fará o papel da diferença de potencial elétrico no axônio, sendo que é definido como o potencial de repouso, é a diferença de potencial máxima suportada pela célula excitável e é o limiar de voltagem . Desta forma podemos escrever as condições acima como

Pode-se dizer que estas condições impõem que e sejam pontos de equilíbrio estável, enquanto seja um ponto de equilíbrio instável.

Assim, a variação temporal do potencial elétrico na célula pode ser dada por

Onde é alguma função que faz satisfazer as condições .

No modelo de Nagumo, utiliza-se o polinômio de terceiro grau .

Substituindo em é fácil notar que e são pontos de equilíbrio de . Por outro lado, como podemos ver na Figura 3, se , temos que logo o valor de diminui até atingir o ponto de equilíbrio em . Se fazendo o potencial crescer até atingir o valor máximo em . Desta forma, temos que e são pontos de equilíbrio estável —representando os pontos de potencial máximo e mínimo, respectivamente—, enquanto que é um ponto de equilíbrio instável, funcionando como o limiar de voltagem para desencadear o PA.

Figura 3 — Curva de com

Em outras palavras, vemos o caráter "tudo ou nada" do potencial deste modelo. Se o valor do estímulo inicial se encontrar entre e , o estímulo desaparece, porém se o estímulo inicial estiver entre e , o estímulo é amplificado até o valor máximo. Entretanto, modelando o sistema apenas com a equação , vemos que o PA não é propagado por todo axônio, ele atua apenas localmente, onde ocorreu o estímulo. Além disso, uma vez estimulado, o neurônio nunca volta para o seu estado de repouso, permanecendo permanentemente no valor máximo de potencial.

Equação de Nagumo

A equação de Nagumo complementa o modelo acima adicionando um termo difusivo à equação . Assim temos que a equação de Nagumo é dada por[3][4]

Onde e .

Desta forma o PA não é mais restrito à região onde ocorre o estímulo e se difunde ao longo de todo axônio.

Modelo de Fitzhugh-Nagumo

O modelo de Fitzhugh-Nagumo (FN) complementa a equação de Nagumo introduzindo uma nova variável, transformando a equação original em um sistema de equações. A variável , chamada de "variável rápida", representa a variação do potencial na membrana da célula, enquanto que a nova variável , chamada de "variável lenta" ou variável de recuperação, representa a capacidade da célula retornar ao seu PR após ser excitada por um estímulo externo. o modelo de FN é dado pelo sistema de equações [3] [4] [5]

Onde é o limiar de potencial, e são parâmetros a serem ajustados —relacionados à velocidade de atuação da variável de recuperação— e é a magnitude do estímulo externo [4] [5].

Método de Crank-Nicolson

(explicar o método --> Natália)

Equação de Nagumo 1D

(aplicar o método na equação e testar estabilidade --> Natália)

Método FTCS

O FTCS (Adiante no tempo, centrado no espaço, do inglês: Forward Time Centered Space) é um método numérico para se resolver equações diferenciais parciais. Ele se baseia na discretização das derivadas parciais da equação e pode ser tanto um método explícito quanto um método implícito. Como exemplo, vamos utilizar a equação abaixo, conhecida como a equação da difusão unidimensional (EDU)

FTCS Explícito

No método explícito, a discretização é

Substituindo na EDU e utilizando a notação de índices ( é índice temporal e é o índice temporal), temos

Agrupando em uma constante e deixando o passo temporal futuro em função do passo anterior explicitamente, temos

Utilizando esta equação é possível calcular o valor de iterativamente para todo intervalo de tempo.

FTCS Implícito

No método implícito, também chamado de BTCS (para trás no tempo centrado no espaço, do inglês: Backwards Time Centered Space), pois o passo temporal é dado para trás, assim a derivada temporal é

Resultando na seguinte EDU

Reescrevendo os índices temos

Onde está escrita implicitamente, e pode ser calculada utilizando o Algoritmo de Thomas [1].

Equação de Recuperação 1D

No modelo de Fitzhugh-Nagumo, utilizou-se o mesmo algoritmo de Crank-Nicolson utilizado na Equação de Nagumo para resolver a Equação diferencial parcial de segunda ordem para , porém ainda é necessário resolver a equação diferencial de , dada por

Para isso utilizou-se o método FTCS explícito. Discretizando a derivada, temos

Utilizando a notação de índices e aplicando na equação da recuperação, temos

Assim, uma vez conhecido , é possível calcular para qualquer intervalo de tempo.

Vamos verificar as condições de estabilidade do método utilizando o os modos de Fourier:

  • substituindo onde é a unidade imaginária;
  • desconsiderando ,

temos

Modelo FitzHung-Nagumo 2D

(aplicar o método na equação e testar estabilidade --> Bernardo)

O sistema de EDP's em 2 dimensões, assumindo uma difusão isotrópica, é dado por



Como a equação de recuperação já foi discretizada, e não depende da dimensão do problema, precisamos apenas aplicar o FTCS na equação difusiva de naumo em 2D, assumindo , temos





onde os índices e se referem às coordenadas e respectivamente; e o índice referente ao tempo.

Vamos verificar as condições de estabilidade do método utilizando os modos de Fourier:

  • substituindo
  • usando
  • por simplicidade, como fizemos na seção 3.1, vamos linearizar
  • por fim, desconsiderar




Dividindo os dois lados da equação por temos



Sabendo as seguintes identidades trigonométricas:

Aplicando consecutivamente a equação




Sabemos que a condição de estabilidade por modos de Fourier é obtida quando , portanto



Como e , no pior dos casos os termos de senos ao quadrado são 1, e a condição de estabilidade fica


Resultados

Equação de Nagumo 1D

(explicar os testes e os gráficos/animações --> Natália)

Modelo FitzHung-Nagumo 1D

(explicar os testes e os gráficos/animações --> Murilo)

Modelo FitzHung-Nagumo 2D

(explicar os testes e os gráficos/animações --> Bernardo)

Figura (numerar) — Imagens de simulação de PA propagando sobre membrana 2D segundo modelo de FitzHung-Nagumo

Discussão

(Contextualizar resultados --> Bernardo)

Os resultados obtidos pela implementação da equação difusiva de Nagumo são análogos ao comportamento "tudo ou nada" de resposta em uma célula excitável, já que um estimulo acima do limiar levar ao aumento do potencial até um valor fixo. Embora esse valor não atinja o pico de ultrapassagem para todo estimulo inicial que esteja entre o limiar e a despolarização máxima da célula, essa peculiaridade é prevista pelo modelo [5].

Mas outra questão importante de se observar é a forma como diferentes larguras de estimulo inicial interferem na difusão do potencial elétrico na membrana. Um fenômeno que é verificável é que pulsos maiores difundem mais rápido sobre o axônio, já que os efeitos de inversão de campo elétrico na região do estímulo podem ser percebidos nas proximidades mesmo antes do estímulo chegar ali [1].

Quanto a implementação do Sistema FitzHung-Nagumo com potencial difusivo sobre a membrana, vemos que o potencial(nos gráficos de v por t) de ação é gerado com um perfil bem semelhante a um PA convencional de axônio. Para manter o sentido fisiológico escolhemos fazer as simulações para um [1],que como mencionado na secção 2.3 não consegue reagir a estímulos contínuos, nem após o período refratário, ainda é muito confiável para simular estímulos únicos.

A maioria dos estudos no modelo FitzHung-Nagumo utiliza as soluções oscilatórias decorrentes , mas embora essa abordagem leve a uma gama maior de resultados para estímulo contínuo [5][4] o sentido fisiológico é prejudicado, principalmente pelo fato de não possuir um limiar [5].

Programas

Referências

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 https://www.ufrgs.br/mnemoforos/arquivos/potenciais2005.pdf Jorge A. Quillfeldt,"ORIGEM DOS POTENCIAIS ELÉTRICOS DAS CÉLULAS NERVOSAS"
  2. https://youtu.be/H9yxE9yrH5w%7C A simple spiking neuron model: sodium channels alone
  3. 3,0 3,1 https://tamiu-ir.tdl.org/bitstream/handle/2152.4/60/GARCIA-THESIS-2015.pdf?sequence=1&isAllowed=y Gabriel Perry Natanni Garcia, "NUMERICAL SIMULATION OF THE NAGUMO EQUATION BY FINITE DIFFERENCEMETHOD"
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 https://hal.inria.fr/hal-00998828/document%7CBinbin Xu, Stéphane Binczak, Sabir Jacquir, Oriol Pont, Hussein Yahia. Parameters Analysis of FitzHugh-Nagumo Model for a Reliable Simulation. 36th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society (EMBC’14), IEEE Engineering in Medicine and Biology Society, Aug 2014, Chicago, United States. ffhal-00998828
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 http://www.scholarpedia.org/article/FitzHugh-Nagumo_model%7CEugene M. Izhikevich and Richard FitzHugh (2006), Scholarpedia, 1(9):1349., "FITZHUGH-NAGUMO MODEL"