Mínimos Quadrados

De Física Computacional
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Este o nome que se da ao ajuste ou fitting de uma função (polinômio) a um conjunto de dados.

Se com representam o conjunto de dados (N) obtidos de um experimento (instrumento) ou de uma observação (pesquisa de opinião ou censo) ou de uma simulação numérica. E se suspeitamos que existe uma correlação entre os X (variável independente ou de entrada, controlada pelo experimento) e os Y (cuja dependência com X queremos testar), primeiro colocamos os pontos num gráfico para ver se o conjunto forma uma nuvem dispersa (quando não existe correlação aparente, isto é X e Y não conformam uma função), ou se existe correlação (os pontos parecem estar sobre alguma curva).
Depois o seguinte a fazer é o ajuste de mínimos quadrados:

Suponhamos que a relação aparente entre Y e X é linear:

ou seja que para cada i:

Definimos:

Se a relação linear entre Y e X fosse exata o valor de seria zero. Mas, como se trata de valores provenientes de um experimento, mesmo sendo essa a relação entre eles, não será zero. Entretanto os valores de {a, b} que procuramos são aqueles que minimizam o valor de . Isto não mostra o caminho para encontrar esses coeficientes:

o que nos leva a:

Definindo a seguinte notação:

Temos as duas equações que determinam os valores de {a.b}:

Ou seja, um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas (a e b) em termos dos valores [1], [x], etc.
Em forma matricial:

Os valores a eb são obtidos resolvendo os determinantes correspondentes, ficando assim: