Método de Monte Carlo e transformações

De Física Computacional
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Transformação linear

Sorteando um número aleatório então fazemos uma transformação para obter um número . Isto é, obtemos a seguinte transformação da seguinte forma:

Se todos os números entre e tinham igual probabilidade de serem sorteados, após a transformação todos os números entre e também possuem igual probabilidade, pois varia com de forma linear, isto é, a distribuição uniforme de números é mantida.Por sua vez, a distribuição uniforme significa que a probabiliade de obter um número entre e é dada pela função densidade de probabilidade da seguinte forma:

Sendo constante, temos que:

Pela normalização. Mas se ampliarmos o intervalo dos números possíveis para entre e :

Então agora . Isto é distribuição de probabilidade continua constante, mas com uma menor probabilidade de sortear um número qualquer, quando em comparação de sortear um qualquer.

Transformação não-linear

O mesmo não ocorre com uma transformação não linear. Por exemplo se , derivando temos que:

Diferente do caso anterior que tínhamos apenas a transformação linear . Podemos ver ainda usando a própria definição de derivada:

E sendo um diferencial então , logo . Agora a distribuição de probabilidade é alterada com a transformação. Para uma transformação qualquer, como a probabilidade se conserva, ainda temos:

Considrando que tem inversa, então então:

Sendo então reescrevendo , logo Então temos:

E sendo nossa ditribuição em uniforme com como vimos anteriormente, ficamos com:

Para a transformação . O mais comum é que saibamos a distribuição de probabilidade que queremos, e uma vez que:

E integramos então para encontrar .

Método da rejeição

Nem sempre o desejado é fácil de definir matematicamente. O método da rejeição é um método rústico para obtermos .

  • Desenhar a função desejada dentro dos limites e .
  • Geramos um ponto aleatório , se estiver abaixo da curva desejada é aceito.

Se gerarmos pontos aleatórios em grande quantidade, a razão de pontos aceitos para cada em relação à todos o pontos aleatórios gerados neste , nos dá uma estimativa de neste ponto, em relação do . Isto é, se para um qualquer, metade dos pontos gerado aleatoriamente foram válidos, então .

Cálulo de integrais definidas

Em uma ideia bastante análoga à anterior, aqui utilizamos a ideia que a integral definida é cálculo da área sob a curva. Definindo novamente limites e no qual a região que queremos calcular está contida, geramos uma série de pontos aleatórios, se gerado pontos suficientes, a razão de pontos que foram gerados dentro da área que queremos calcular em relação ao total de pontos gerados, será a mesma razão da área que queremos calcular em relação à área total definida pelos limites.