Exibir código-fonte para Método de Monte Carlo e transformações

<span id="transformação-linear"></span>
== Transformação linear ==

Sorteando um número aleatório <math display="inline">x\in\left[0,1\right)</math> então fazemos uma transformação para obter um número <math display="inline">y\in\left[ a,b\right)</math>. Isto é, obtemos a seguinte transformação <math display="inline">f:\left[ 0,1\right)\rightarrow\left[ a,b\right)</math> da seguinte forma:

<math display="block">y\left(x\right)=a+\left(b-a\right)x</math>

Se todos os números entre <math display="inline">0</math> e <math display="inline">1</math> tinham igual probabilidade de serem sorteados, após a transformação todos os números entre <math display="inline">a</math> e <math display="inline">b</math> também possuem igual probabilidade, pois <math display="inline">y</math> varia com <math display="inline">x</math> de forma linear, isto é, a distribuição uniforme de números é mantida.Por sua vez, a distribuição uniforme significa que a probabiliade de obter um número entre <math display="inline">x</math> e <math display="inline">x+dx</math> é dada pela função densidade de probabilidade da seguinte forma:

<math display="block">p\left(x\right)dx=\begin{cases}
dx, & 0<x<1\\
0, & \text{outra forma}
\end{cases}</math>

Sendo <math display="inline">p\left(x\right)=p</math> constante, temos que: <math display="block">\int_{-\infty}^{+\infty}dx=p\int_{0}^{1}dx=p=1</math>

Pela normalização. Mas se ampliarmos o intervalo dos números possíveis para entre <math display="inline">a</math> e <math display="inline">b</math>:

<math display="block">\int_{-\infty}^{+\infty}p'dx=\int_{a}^{b}p'dx=p'\int_{a}^{b}dx=p'\left(b-a\right)=1</math>

Então agora <math display="inline">p\left(y\right)=p'=1/\left(b-a\right)</math>. Isto é distribuição de probabilidade continua constante, mas com uma menor probabilidade de sortear um número <math display="inline">y</math> qualquer, quando em comparação de sortear um <math display="inline">x</math> qualquer.

<span id="transformação-não-linear"></span>
== Transformação não-linear ==

O mesmo não ocorre com uma transformação não linear. Por exemplo se <math display="inline">y\left(x\right)=4x^{2}</math>, derivando temos que:

<math display="block">\frac{dy}{dx}=8x\quad\longrightarrow\quad dy=8xdx</math>

Diferente do caso anterior que tínhamos apenas a transformação linear <math display="inline">dy=\left(b-a\right)dx</math>. Podemos ver ainda usando a própria definição de derivada:

<math display="block">\begin{align}
y\left(x+dx\right)-y\left(x\right) & =4\left(x+dx\right)^{2}-4x^{2}\\
 & =4x^{2}+4xdx+dx^{2}-4x^{2}\\
 & =4\cdot2xdx+dx^{2}\end{align}</math>

E sendo <math display="inline">dx</math> um diferencial então <math display="inline">dx^{2}\approx0</math>, logo <math display="inline">dy=8xdx</math>. Agora a distribuição de probabilidade é alterada com a transformação. Para uma transformação <math display="inline">y\left(x\right)</math> qualquer, como a probabilidade se conserva, ainda temos:

<math display="block">\left|p\left(y\right)dy\right|=\left|p\left(x\right)dx\right|</math>

Considrando que <math display="inline">y=y\left(x\right)</math> tem inversa, então <math display="inline">x=x\left(y\right)</math> então:

<math display="block">\begin{align}
\left|p\left(y\right)dy\right|= & \left|p\left(x\right)dx\right|\\
p\left(y\right)\left|dy\right|= & p\left(x\right)\left|dx\right|\\
p\left(y\right)= & p\left(x\right)\left|\frac{dx}{dy}\right|\end{align}</math>

Sendo <math display="inline">y\left(x\right)=-\ln\left(x\right)</math> então reescrevendo <math display="inline">x=e^{-y}</math>, logo <math display="inline">\frac{dx}{dy}=-e^{y}</math> Então temos:

<math display="block">p\left(y\right)=p\left(x\right)e^{-y}</math>

E sendo nossa ditribuição em <math display="inline">x</math> uniforme com <math display="inline">p\left(x\right)=p=1</math> como vimos anteriormente, ficamos com:

<math display="block">p\left(y\right)=e^{-y}</math>

Para a transformação <math display="inline">y=-\ln\left(x\right)</math>. O mais comum é que saibamos a distribuição de probabilidade <math display="inline">p\left(y\right)</math> que queremos, e uma vez que:

<math display="block">p\left(y\right)=\left|\frac{dx}{dy}\right|</math>

E integramos então para encontrar <math display="inline">x\left(y\right)</math>.

<span id="método-da-rejeição"></span>
== Método da rejeição ==

Nem sempre o <math display="inline">p\left(y\right)</math> desejado é fácil de definir matematicamente. O método da rejeição é um método rústico para obtermos <math display="inline">p\left(y\right)</math>.

* Desenhar a função <math display="inline">p\left(y\right)</math> desejada dentro dos limites <math display="inline">a\leq y<b</math> e <math display="inline">0\leq p\left(y\right)\leq p_{max}</math>.
* Geramos um ponto aleatório <math display="inline">\left(y,p\left(y\right)\right)</math>, se estiver abaixo da curva desejada é aceito.

Se gerarmos pontos aleatórios em grande quantidade, a razão de pontos aceitos para cada <math display="inline">y</math> em relação à todos o pontos aleatórios gerados neste <math display="inline">y</math>, nos dá uma estimativa de <math display="inline">p\left(y\right)</math> neste ponto, em relação do <math display="inline">p_{max}</math>. Isto é, se para um <math display="inline">y</math> qualquer, metade dos pontos gerado aleatoriamente foram válidos, então <math display="inline">p\left(y\right)\approx\frac{p_{max}}{2}</math>.

<span id="cálulo-de-integrais-definidas"></span>
== Cálulo de integrais definidas ==

Em uma ideia bastante análoga à anterior, aqui utilizamos a ideia que a integral definida é cálculo da área sob a curva. Definindo novamente limites <math display="inline">x_{min}\leq x\leq x_{max}</math> e <math display="inline">y_{min}\leq y\leq y_{max}</math> no qual a região que queremos calcular está contida, geramos uma série de pontos aleatórios, se gerado pontos suficientes, a razão de pontos que foram gerados dentro da área que queremos calcular em relação ao total de pontos gerados, será a mesma razão da área que queremos calcular em relação à área total definida pelos limites.

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