Mudanças entre as edições de "Linearização de sistemas de equações não lineares"
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Edição das 17h42min de 2 de maio de 2021
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Primeiro temos que um mapa linear é um mapa 
entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:
Onde 
são vetores e 
é escalar. Uma equação linear é então uma equação da forma:
Onde as variáveis e os coeficientes são 
e 
respectivamente. De maneira análoga, uma equação diferencial linear tem a seguinte forma geral:
Lembrando que os termos 
e 
podem ser não-lineares, e também que equações diferenciais lineares possuem o princípio da superposição, isto é, a superposição de duas ou mais soluções para uma equação diferencial linear homogênea, também é uma solução. Uma equação diferencial de primeira ordem (
) pode ser escrita então como:
Para facilitar, vamos denotar sem perda de generalidade 
, 
e 
:
Se 
, então temos apenas 
, que é classificada como equação homogênea. Podemos perceber que 
ainda pode aparecer explicitamente em 
, porém se isto não acontecer, ou seja, 
for constante, temos então uma equação autônoma 
. Se temos então um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, podemos escrever na forma vetorial:
Os termos 
podem ser reescritos em termo das outras equações , Por exemplo 
, então:
Que ainda pode ser reescrito sem perda de generalidade como:
É comum encontrar na literatura 
sendo chamado de entrada. Podemos nos atentar que com a matriz 
podemos escrever com elementos linearmente independentes. Tendo como exemplo o seguinte sistema:
Podemos reescrever 
por exemplo:
Podemos ver que precisamos conhecer 
para conhecermos completamente o comportamento de 
, o que é uma característica de sistemas. Reescrevendo o sistema na forma diferencial tradicional:
Ou seja, temos 
. Mas ainda podemos reescrever como:
Onde temos 
. Agora, considerando que as matrizes 
e sejam independentes do tempo, temos:
Então 
. Omitindo a informação da dependência no tempo 
, temos o seguinte vetor:
Onde 
e 
. O ponto de equilíbrio 
ocorre quando para uma entrada constante 
temos 
:
- Se a matriz é inservível, temos um único ponto de equilíbrio.
- Se a matriz é singular, ou seja, não é inservível (seu determinante é nulo, e como o determinante é o produto dos autovalores[1], consequentemente então um autovalor ao menos é nulo), então dependemos do posto matricial (quantidade de linhas ou colunas independentes) do produto
:
há um infinito número de pontos de equilíbrio;
- Nesse caso podemos obter todas soluções a partir de uma solução particular, fazendo
(lembrando que o kernel é um sub-espaço formado por vetores 
que satisfazem 
[2]).
- Nesse caso podemos obter todas soluções a partir de uma solução particular, fazendo
não há pontos de equilíbrio.
Para sistemas lineares, a estabilidade do ponto de equilíbrio não depende do ponto em si. A estabilidade do sistema é completamente determinada pela posição dos autovalores da matriz A.
Considerando então um sistema não linear:
Novamente o ponto de equilíbrio ocorre quando para uma entrada constante quando temos 
. Mas agora a estabilidade não é uma propriedade global do sistema, mas local. Então a análise deve ser feita em cada ponto de equilíbrio. Vamos expandir então a função 
na vizinhaça do do ponto de equilíbrio 
. Para uma variável, temos a seguinte expansão em série de Taylor em torno de 
:
Para o primeiro grau, uma função para duas variáveis próxima ao ponto 
pode ser aproximada por[3]:
Mas escrevendo então 
e 
:
E tendo os vetores 
e 
:
Onde:
Generalizando para nosso caso temos então:
Uma vez que agora ambos 
e 
são vetores . E como 
, fazendo o deslocamento 
e 
, temos:
Onde:
Onde a matriz é a matriz jacobiana que representa a diferenciação de 
em cada ponto onde é diferenciável.
Sendo que as componentes da matrizes 
e 
são constantes, pois é o valor da derivada no ponto de equilíbrio.
Principais materiais utilizados
- Analysis of Ordinary Differential Equations (J. M. Cushing, Universidade do Arizona)
- Linearization of Nonlinear Systems (Roberto Zanasi, Universidade de Módena e Reggio Emília)
Citações
- ↑ Facts About Eigenvalues (David Butler, University of Adelaide)
- ↑ Lecture 13: Image and Kernel (Oliver Knill, Harvard University)
- ↑ Taylor Polynomials of Functions of Two Variables (Paul Seeburger, LibreTexts)
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