Mudanças entre as edições de "Linearização de sistemas de equações não lineares"
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| Linha 1: | Linha 1: | ||
| − | + | Primeiro temos que um mapa linear é um mapa <math display="inline">V\rightarrow W</math> entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar: | |
<math display="block">f\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right)=f\left(\boldsymbol{u}\right)+f\left(\boldsymbol{v}\right)\qquad f\left(c\boldsymbol{u}\right)=cf\left(\boldsymbol{u}\right)</math> | <math display="block">f\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right)=f\left(\boldsymbol{u}\right)+f\left(\boldsymbol{v}\right)\qquad f\left(c\boldsymbol{u}\right)=cf\left(\boldsymbol{u}\right)</math> | ||
| Linha 25: | Linha 25: | ||
| − | Os | + | Os termos <math display="inline">g_{j}\left(t\right)</math> podem ser reescritos em termo das outras equações <math display="inline">x_{j}</math>, Por exemplo <math display="inline">g_{0}=g_{01}\left(t\right)x_{1}+\dots g_{0n}\left(t\right)x_{n}+b_{0}\left(t\right)</math>, então: |
| − | <math display="block">\begin{ | + | <math display="block">\begin{align} |
\left(\begin{array}{c} | \left(\begin{array}{c} | ||
\dot{x_{0}}\\ | \dot{x_{0}}\\ | ||
| Linha 49: | Linha 49: | ||
\vdots\\ | \vdots\\ | ||
b_{n}\left(t\right) | b_{n}\left(t\right) | ||
| − | \end{array}\right)\end{ | + | \end{array}\right)\end{align}</math> |
| − | <math display="block">\begin{ | + | Que ainda pode ser reescrito sem perda de generalidade como: |
| + | |||
| + | <math display="block">\begin{align} | ||
\dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\ | \dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\ | ||
& =A\boldsymbol{x}+\mathbb{I}\boldsymbol{b}\\ | & =A\boldsymbol{x}+\mathbb{I}\boldsymbol{b}\\ | ||
| − | & =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\end{ | + | & =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\end{align}</math>É comum encontrar na literatura <math display="inline">\boldsymbol{u}</math> sendo chamado de entrada. Podemos nos atentar que com a matriz <math display="inline">B</math> podemos escrever <math display="inline">\boldsymbol{u}</math> com elementos linearmente independentes. Tendo como exemplo o seguinte sistema: |
| − | <math display="block">\begin{ | + | <math display="block">\begin{align} |
\dot{x} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\\ | \dot{x} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\\ | ||
| − | \dot{y} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)-\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t\end{ | + | \dot{y} & =\cos\left(t\right)\left(x+1\right)-\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t\end{align}</math>Podemos reescrever <math display="inline">\dot{x}</math> por exemplo: |
| − | <math display="block">\begin{ | + | <math display="block">\begin{align} |
\dot{x} & =\left[\cos\left(t\right)\right]x+\left[\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\right]\\ | \dot{x} & =\left[\cos\left(t\right)\right]x+\left[\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)\left(y+1\right)+t^{2}\right]\\ | ||
| − | & =a\left(t\right)x+g\left(t\right)\end{ | + | & =a\left(t\right)x+g\left(t\right)\end{align}</math> |
| − | Podemos ver que precisamos conhecer <math display="inline">y\left(t\right)</math> para conhecermos completamente o comportamento de <math display="inline">x\left(t\right)</math>, o que é uma característica de sistemas. Reescrevendo o sistema na forma diferencial tradicional:<math display="block">\begin{ | + | Podemos ver que precisamos conhecer <math display="inline">y\left(t\right)</math> para conhecermos completamente o comportamento de <math display="inline">x\left(t\right)</math>, o que é uma característica de sistemas. Reescrevendo o sistema na forma diferencial tradicional:<math display="block">\begin{align} |
\dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\ | \dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\\ | ||
\left(\begin{array}{c} | \left(\begin{array}{c} | ||
| Linha 79: | Linha 81: | ||
\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}\\ | \cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}\\ | ||
\cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t | \cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t | ||
| − | \end{array}\right)\end{ | + | \end{array}\right)\end{align}</math> |
| Linha 85: | Linha 87: | ||
\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}, & \cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t\end{array}\right)^{T}</math>. Mas ainda podemos reescrever como: | \cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+t^{2}, & \cos\left(t\right)-\sin\left(t\right)+t\end{array}\right)^{T}</math>. Mas ainda podemos reescrever como: | ||
| − | <math display="block">\begin{ | + | <math display="block">\begin{align} |
\dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\\ | \dot{\boldsymbol{x}} & =A\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{u}\\ | ||
\left(\begin{array}{c} | \left(\begin{array}{c} | ||
| Linha 104: | Linha 106: | ||
t^{2}\\ | t^{2}\\ | ||
t | t | ||
| − | \end{array}\right)\end{ | + | \end{array}\right)\end{align}</math> |
Onde temos <math display="inline">\boldsymbol{u}=\left(\begin{array}{cc} | Onde temos <math display="inline">\boldsymbol{u}=\left(\begin{array}{cc} | ||
\cos\left(t\right), & \sin\left(t\right)\end{array},t^{2},t\right)^{T}</math>. Agora, considerando que as matrizes <math display="inline">A</math> e <math display="inline">B</math> sejam independentes do tempo, temos: | \cos\left(t\right), & \sin\left(t\right)\end{array},t^{2},t\right)^{T}</math>. Agora, considerando que as matrizes <math display="inline">A</math> e <math display="inline">B</math> sejam independentes do tempo, temos: | ||
| − | <math display="block">\begin{ | + | <math display="block">\begin{align} |
\left(\begin{array}{c} | \left(\begin{array}{c} | ||
\dot{x_{1}}\\ | \dot{x_{1}}\\ | ||
| Linha 131: | Linha 133: | ||
u_{m} | u_{m} | ||
\end{array}\right)\\ | \end{array}\right)\\ | ||
| − | \dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right) & =A\boldsymbol{x}\left(t\right)+B\boldsymbol{u}\left(t\right)\end{ | + | \dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right) & =A\boldsymbol{x}\left(t\right)+B\boldsymbol{u}\left(t\right)\end{align}</math>Então <math display="inline">\dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right)=f\left(\boldsymbol{x}\left(t\right),\boldsymbol{u}\left(t\right)\right)</math>. Omitindo a informação da dependência no tempo <math display="inline">\left(t\right)</math>, temos o seguinte vetor: |
<math display="block">\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=\left(\begin{array}{c} | <math display="block">\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right)=\left(\begin{array}{c} | ||
Edição das 16h03min de 12 de abril de 2021
Primeiro temos que um mapa linear é um mapa 
entre dois espaços vetoriais, isto é, um mapa que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação escalar:
Onde 
são vetores e 
é escalar. Uma equação linear é então uma equação da forma:
Onde as variáveis e os coeficientes são 
e 
respectivamente. De maneira análoga, uma equação diferencial linear tem a seguinte forma geral:
Lembrando que os termos 
e 
podem ser não-lineares, e também que equações diferenciais lineares possuem o princípio da superposição, isto é, a superposição de duas ou mais soluções para uma equação diferencial linear homogênea, também é uma solução. Uma equação diferencial de primeira ordem (
) pode ser escrita então como:
Para facilitar, vamos denotar sem perda de generalidade 
, 
e 
:
Se 
, então temos apenas 
, que é classificada como equação homogênea. Podemos perceber que 
ainda pode aparecer explicitamente em 
, porém se isto não acontecer, ou seja, 
for constante, temos então uma equação autônoma 
. Se temos então um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, podemos escrever na forma vetorial:
Os termos 
podem ser reescritos em termo das outras equações , Por exemplo 
, então:
Que ainda pode ser reescrito sem perda de generalidade como:
É comum encontrar na literatura 
sendo chamado de entrada. Podemos nos atentar que com a matriz 
podemos escrever com elementos linearmente independentes. Tendo como exemplo o seguinte sistema:
Podemos reescrever 
por exemplo:
Podemos ver que precisamos conhecer 
para conhecermos completamente o comportamento de 
, o que é uma característica de sistemas. Reescrevendo o sistema na forma diferencial tradicional:
Ou seja, temos 
. Mas ainda podemos reescrever como:
Onde temos 
. Agora, considerando que as matrizes 
e sejam independentes do tempo, temos:
Então 
. Omitindo a informação da dependência no tempo 
, temos o seguinte vetor:
Onde 
e 
. O ponto de equilíbrio 
ocorre quando para uma entrada constante 
temos 
:
- Se a matriz é inservível, temos um único ponto de equilíbrio.
- Se a matriz é singular, ou seja, não é inservível (seu determinante é nulo, e como o determinante é o produto dos autovalores[1], consequentemente então um autovalor ao menos é nulo), então dependemos do posto matricial (quantidade de linhas ou colunas independentes) do produto
:
há um infinito número de pontos de equilíbrio;
- Nesse caso podemos obter todas soluções a partir de uma solução particular, fazendo
(lembrando que o kernel é um sub-espaço formado por vetores 
que satisfazem 
[2]).
- Nesse caso podemos obter todas soluções a partir de uma solução particular, fazendo
não há pontos de equilíbrio.
Para sistemas lineares, a estabilidade do ponto de equilíbrio não depende do ponto em si. A estabilidade do sistema é completamente determinada pela posição dos autovalores da matriz A.
Considerando então um sistema não linear:
Novamente o ponto de equilíbrio ocorre quando para uma entrada constante quando temos 
. Mas agora a estabilidade não é uma propriedade global do sistema, mas local. Então a análise deve ser feita em cada ponto de equilíbrio. Vamos expandir então a função 
na vizinhaça do do ponto de equilíbrio 
. Para uma variável, temos a seguinte expansão em série de Taylor em torno de 
:
Para o primeiro grau, uma função para duas variáveis próxima ao ponto 
pode ser aproximada por[3]:
Mas escrevendo então 
e 
:
E tendo os vetores 
e 
:
Onde:
Generalizando para nosso caso temos então:
Uma vez que agora ambos 
e 
são vetores . E como 
, fazendo o deslocamento 
e 
, temos:
Onde:
Onde a matriz é a matriz jacobiana que representa a diferenciação de 
em cada ponto onde é diferenciável.
Principais materiais utilizados
- Analysis of Ordinary Differential Equations (J. M. Cushing, Universidade do Arizona)
- Linearization of Nonlinear Systems (Roberto Zanasi, Universidade de Módena e Reggio Emília)
Citações
- ↑ Facts About Eigenvalues (David Butler, University of Adelaide)
- ↑ Lecture 13: Image and Kernel (Oliver Knill, Harvard University)
- ↑ Taylor Polynomials of Functions of Two Variables (Paul Seeburger, LibreTexts)
