Investigações posteriores sobre autocorrelação (Gaspar)

Definição

Partimos da definição de autocorrelação de um sistema de agentes em relação ao estado do mesmo sistema em $t=\tau$:

$corr(\tau ,t)={\frac {\sum _{i}^{N}w_{i}(\tau )w_{i}(\tau +t)}{\sum _{i}^{N}w_{i}(\tau )w_{i}(\tau )}}$

sendo $N$ o número de agentes e $w_{i}$ a riqueza do $i$-ésimo agente. Também na forma na forma de produto escalar:

$corr(\tau ,t)={\frac {{\vec {W}}(\tau )\cdot {\vec {W}}(\tau +t)}{{\vec {W}}(\tau )\cdot {\vec {W}}(\tau )}}$

sendo ${\vec {W}}$ o vetor que representa o sistema de agentes.

Autocorrelação para distribuição uniforme entre 0 e 1

Reconhecemos da definição acima que o denominador depende somente de $\tau$. Portanto, é esperado que ao longo da simulação, teremos para cada estado de referência ${\vec {W}}(\tau )$ um denominador diferente, pois a distribuição de renda do sistema vai se alterando. Entretanto, o denominador será sempre o mesmo em $\tau =0$ pois trata-se do estado inicial do sistema, que é uma distribuição uniforme de riqueza entre 0 e 1. Pode-se mostrar que, para uma distribuição uniforme,

$\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}={\frac {N}{3}}$

para $w_{i}=\lbrack 0,1\rbrack$ uniforme.

Caso particular: quando um agente suga toda a riqueza

Seja o $j$-ésimo agente o agente que vai concentrar toda a riqueza. Então,

$\lim _{t\rightarrow \infty }w_{j}(t)=W$

em que $W$ representa a riqueza total do sistema. Como o sistema é conservativo, podemos usar o estado inicial do sistema para obter $W$ de acordo com

$W=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(0)={\frac {N}{2}}$

A autocorrelação $t\rightarrow \infty$ para $\tau =0$ vale, portanto,

$\lim _{t\rightarrow \infty }\left\langle corr(t)\right\rangle ={\frac {3}{N}}\lim _{t\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{N}\left\langle w_{i}(0)w_{i}(t)\right\rangle$

Como a riqueza é concentrada em apenas um agente, sobrevive apenas a $j$-ésima parcela da soma, correspondente à riqueza do $j$-ésimo agente:

$\lim _{t\rightarrow \infty }\langle corr(t)\rangle ={\frac {3}{N}}\lim _{t\rightarrow \infty }\langle w_{j}(0)w_{j}(t)\rangle ={\frac {3}{N}}\langle w_{j}(0)\rangle \lim _{t\rightarrow \infty }w_{j}(t)$

Mas

$\langle w_{j}(0)\rangle =1/2$

de modo que

$\lim _{t\rightarrow \infty }\langle corr(t)\rangle ={\frac {3}{N}}{\frac {1}{2}}{\frac {N}{2}}={\frac {3}{4}}$

Denominador da autocorrelação em função de $\tau$

Abaixo, gráficos do denominador em função de $\tau$ e de $f$ (parâmetro de assimetria) para um sistema de 300 agentes (média entre 100 rodadas, ou amostras) para as regras do mínimo e do perdedor. Observe como o denominador não é afetado por $f$ para $\tau =0$.

• Gaspar 2006-08-17-MINIMUM-corr denom-tau(3).jpg

  minimum

• Gaspar 2006-08-17-LOSER-corr denom-tau(3).jpg

  loser

"Anomalias" da autocorrelação

Abaixo, gráficos de $corr(f,\tau ,t)$ para um sistema de 300 agentes (média entre 100 rodadas, ou amostras), sendo um gráfico para cada $f$. Para manter os gráficos limpos, eles são apresentados sem legendas.

Informações úteis:

cada gráfico contem 41 curvas de autocorrelação;

cada curva de autocorrelação é traçada em relação aos estados do sistema nos tempos $\tau =0,100,200,300,...,3900,4000$;

observe que, à medida que o sistema se aproxima do estado de equilíbrio, as curvas de autocorrelação se "empacotam" em torno de um certo valor;

observe que, para a regra do perdedor, há um certo tempo durante o qual a autocorrelação é maior do que 1, mas que cai para um valor menor do que 1 ao se aproximar do estado de equilíbrio.

observe que há uma curva de autocorrelação vermelha destacada de todas as outras: é a autocorrelação em relação ao estado inicial ($\tau =0$), cujo valor assintótico visivelmente independe tanto de $f$ como da regra em questão. Essa é uma anomalia ainda em estudo.

• Gaspar 2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f50.jpg

  minimum, f = 0.50

• Gaspar 2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f40.jpg

  minimum, f = 0.40

• Gaspar 2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f30.jpg

  minimum, f = 0.30

• Gaspar 2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f20.jpg

  minimum, f = 0.20

• Gaspar 2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f10.jpg

  minimum, f = 0.10

• Gaspar 2006-08-17-LOSER-corr-tau-f50.jpg

  loser, f = 0.50

• Gaspar 2006-08-17-LOSER-corr-tau-f40.jpg

  loser, f = 0.40

• Gaspar 2006-08-17-LOSER-corr-tau-f30.jpg

  loser, f = 0.30

• Gaspar 2006-08-17-LOSER-corr-tau-f20.jpg

  loser, f = 0.20

• Gaspar 2006-08-17-LOSER-corr-tau-f10.jpg

  loser, f = 0.10

"Miolo" do programa utilizado para cálculo de autocorrelação

Tendo em vista as anomalias apresentadas acima, apresentamos o pedaço do programa empregado para calcular a autocorrelação. Está sob análise pois, se há alguma real anomalia, deve haver um erro nessa parte do programa.

Breve legenda

  B(agente)            := vetor de $$$ dos agentes 
  B_TAU(agente,tau)    := matriz com estado do sistema para cada tau
  CORR_DENOM(tau)      := vetor com denominadores da autocorrelação para
                          cada tau
  MEAN_CORR(tempo,tau) := matriz com valores de autocorrelação para cada
                          tau e para cada tempo além de tau; no final, é
                          feita uma média entre todas as amostras para
                          obter melhor resolução   
  

Cálculo do denominador no estado inicial:

  CORR_DENOM(0) = DOT_PRODUCT(B,B)
  
  DO j = 1, agents       !!!salva o estado
     B_TAU(j,0) = B(j)   !!!inicial do
  END DO                 !!!sistema
  
  MEAN_CORR(0,0) = MEAN_CORR(0,0) + 1   !!!por def, a correlação
                                        !!!no estado inicial = 1
  ...

Função que calcula autocorrelação:

  corr = 0
  
  DO j = 1, agents
     corr = corr + B(j)*B_TAU(j,k)
  END DO
  
  corr = corr/CORR_DENOM(k)