Introdução à equações diferenciais com atraso

De Física Computacional
Edição feita às 15h07min de 16 de junho de 2021 por Jhordan (Discussão | contribs)

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Antes de começar, duas curiosidades é que a necessidade de trabalhar com equações diferenciais com atrasos tem como um dos marcos iniciais ter sido enfatizado inicialmente por Lotka em modelos epidemiológicos de malária, e a história do desenvolvimento das equações diferenciais com atraso se mistura com das equações intetegro-diferenciais.

Prosseguindo, definindo então como uma variável que descreve o comportamento de um processo no intervalo , para definir uma equação diferencial funcional (functional differential equation - FDE) precisamos definir:

  • e são conjuntos de números reais dependentes do tempo definido para todo ;
  • é uma função contínua em ;
    • é a derivada de .
  • Para cada , tem-se onde ;
    • Da mesma forma onde .

Ou seja, para cada instante , temos uma função que é a função no instante deslocada no tempo por uma quantidade , onde é retirado do conjunto no instante . Um ponto importante é que e são , então podem representar um sistema de equações. Podemos dizer que satisfaz uma FDE se para quase todo a seguinte igualdade é válida:

Classificação das FDE e RFDE de acordo com Gerhard Manfred Schoen (1995).

Onde é chamado muitas vezes de entrada na teoria de controle e é dado para todo o intervalo de tempo necessário. Essa equação contém três tipos de equações diferenciais:

  • Equação diferencial funcional com retardo (retarded functional differential equations - RFDE): Se e . Isto é, a condição para implica que não depende da derivada de e a primeira condição implica que o deslocamento representa sempre um atraso. Denotando , então onde .

Ou seja, em outras palavras, a taxa da variação do estado de uma RFDE é determinado pela entrada , bem como os estados atuais e passados do sistema.. Em teoria do controle é chamado de sistema com atraso no tempo.

  • Equação diferencial funcional neutral (neutral functional differential equations - NFDE): Se a taxa de variação do sistema depende dos seus valores passados, incluindo a derivada, isto é e . Um exemplo de sistema escalar linear seria:

  • Equação diferencioal funcional avançada (Advanced functional differential equations - AFDE): parecido com RFDE, mas ao invés do atraso, temos um avanço, isto é e . Neste caso a taxa de variação do sistema depende dos seus atuais e futuros valores, além da entrada .

Uma observação é que RFDE se converte em AFDE para e vice-versa. O foco nos próximos tópicos será em RFDE. Se o conjunto é finito para cada , então é chamado de FDE com atrasos discretos. Se é contínuo, então os atrasos são distribuídos. No caso de atrasos discretos, ainda podemos separar em sistemas em que os atrasos são relacionados por inteiros, chamando-os de atrasos comensuráveis. Como por exemplo:

E quando não estão relacionados é chamado de incomensuráveis.

Principais materiais utilizados:


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