Mudanças entre as edições de "Integração Numérica"

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[[Image:integral.jpg|thumb|right|A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de <math>S</math>]]
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'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
 
'''Integração numérica''' é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido
 
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':
 
em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da '''integral definida''':
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# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
 
# existência de funções contínuas sem '''primitiva,''' o que inviabiliza a conta analítica.
# funções discontinuas ou definidas por trechos mas para as quais a integral não existe (no fundo é a falta de uma primitiva)
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# funções descontinuas ou definidas por trechos mas para as quais a integral não existe (no fundo é a falta de uma primitiva)
 
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
 
# funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
 
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)
 
# funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)
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:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>
 
:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = F(x + \Delta x) - F(x) </math>
  
Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrever-la como:
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Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:
  
 
:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>
 
:<math> \int_{x}^{x+\Delta x} f(x') dx' = f(x'') \Delta x = F(x + \Delta x) - F(x) </math>
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== Cálculo Numérico ==
 
== Cálculo Numérico ==
  
O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima:
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[[Image:Trapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do retângulo.]]
  
:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx \approx \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>
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[[Image:integrationtrapezio.png|right|frame|Ilustração da regra do trapézio.]]
  
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O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima.
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Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor.<br>
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-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
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:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_e = \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i) \Delta x </math>
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-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
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:<math>\int_a^b f(x)\, dx \approx S_d = \sum_{i=1}^{N} f(x_i) \Delta x </math> 
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-[[Regra do Trapézio]]:
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:<math>\int_a^b f(x)dx \approx S_t = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i)+f(x_i+\Delta x)}{2}\Delta x</math>
 
onde:
 
onde:
:<math>\Delta x = \frac{b-a}{N}</math>  
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:<math>x_i = a + i \Delta x,\;\;  \Delta x = \frac{b-a}{N}</math>  
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Esta última pode ser reescrita como:
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:<math>\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i)\right)\Delta x</math>
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Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:
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:<math>S_t = (S_e + S_d)/2</math>
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-[[Regra de Simpson]]:
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Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.
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A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é  passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre <math> x_{1} , x_{3}</math> é dada por:
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:<math>S= \int_{x_1}^{x_3} f(x) \, dx \approx \frac{x_3-x_1}{6}\left[f(x_1) + 4f\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)+f(x_3)\right]</math>
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No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande. Assim,  é preciso traçar  uma parábola a cada  três pontos consecutivo e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo <math>\left[ x_{1} ; x_{n}\right]</math> :
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:<math>S=  \int_{x_1}^{x_n} f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_1)+4f(x_2)+2f(x_3)+4f(x_4)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]</math>,
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onde <math> h =  (x_{n} - x_{1} )/N </math> .
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Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor, mas será sempre finito.<br>
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A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo  em [http://davinci.if.ufrgs.br/wiki/index.php/Regra_de_Simpson]
Dependendo de onde são avaliados os <math>x_i</math> termos diferentes versões da integral numérica.
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Exemplo:
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:<math>x_i = a + i\Delta x</math>, com i=0,...N-1 é a integral pela borda inferior do intervalo <math>\Delta x</math>
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== Programação ==
 
== Programação ==
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A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (''external function f(x)'')<br/>
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entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:
  
 
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Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço)<br />
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e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.
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== Erro associado ao método numérico ==
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O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador <math>N\to\infty</math>. O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões <math>N</math> realizada na função <math>f(x)</math> dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como
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:<math>erro=\frac{Int(N)-Int(N-1)}{Int(N)}</math>,
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onde <math>Int(N)</math> é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando <math>N</math> divisões e <math>Int(N-1)</math> utilizando <math>N-1</math> divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar <math>N</math> e calcular o erro a cada incremento no seu valor.

Edição das 08h42min de 13 de outubro de 2011

A integração numérica consiste em achar a aproximação numérica para o valor de

Integração numérica é um termo amplo que abrange até a integração de equações diferenciais como é discutido em Métodos Computacionais B. Aqui nos referimos exclusivamente ao cálculo numérico da integral definida:

O termo definida, quer dizer que a integral se faz entre limites definidos, no caso a e b.

O interesse de fazer esse cálculo numericamente se deve a:

  1. existência de funções contínuas sem primitiva, o que inviabiliza a conta analítica.
  2. funções descontinuas ou definidas por trechos mas para as quais a integral não existe (no fundo é a falta de uma primitiva)
  3. funções (ou tabelas) provenientes de experimentos
  4. funções continuas e com primitiva de representação simbólica, porem de difícil avaliação na prática (mais difícil que avaliar a própria função)

Definição

Revisemos o conceito de integral do cálculo: A integral definida de uma função f(x) no intervalo [a, b] se define como:

A integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo.
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva.
Mais precisamente podemos dizer que a integral acima é o valor limite da soma:

onde:

é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b-a), é o valor da função em algum ponto deste intervalo.
Quando o valor da soma acima é igual a área abaixo da curva.

A integral também é conhecida como antiderivada:

Relembremos porque:

Teorema Fundamental do Cálculo

Se resolvermos a integral acima entre os limites a e b, o resultado pode ser escrito como dependendo só dos extremos:

Vamos ver agora como se isso for válido, então F(x) é a primitiva procurada.

Calculando a integral entre e :

Pela definição da integral entre limites definidos podemos escrevê-la como:

onde é um valor de entre os extremos do intervalo.

Passando o para a direita e tomando o limite quando ele vai para zero:

Demonstramos que a derivada de F(x) resulta ser a função f(x) que queremos integrar. Em outras palavras, o Teorema fundamental do Cálculo diz que resolver uma integral se resume a achar a primitiva, ou seja uma função cuja derivada seja o integrando.

O problema prático é que não todas as funções tem primitiva.. Vejamos então.

Cálculo Numérico

Ilustração da regra do retângulo.
Ilustração da regra do trapézio.
Ilustração da regra de Simpson.

O cálculo numérico de uma integral definida se baseia na própria definição acima. Com a diferença que N é finito. Obviamente quanto maior, melhor.

-Temos que pelos retângulos definidos pelo extremo esquerdo de cada subintervalo:
-E pelos retângulos definidos pelo extremo direito de cada subintervalo:
-Regra do Trapézio:

onde:

Esta última pode ser reescrita como:

Também pode se verificar que a integral calculada com os trapézios é a média das integrais calculadas com retângulos:

-Regra de Simpson:

Notemos que o método do trapézio é baseado na ideia de passar uma reta por 2 pontos e aproximar a área da função f(x) pela área sob a curva definida pelo trapézio.

A regra de Simpson é uma extensão disto: a ideia é passar uma parábola por três pontos consecutivos e calcular a área definida por ela. Se tivermos apenas 3 pontos, a integral da parábola que passa entre é dada por:



No entanto, para integrarmos sobre toda o intervalo com boa precisão, é necessário dividi-lo em N intervalos, com N grande. Assim, é preciso traçar uma parábola a cada três pontos consecutivo e a expressão final da fórmula de Simpson é então a soma da área sob todas as parábolas do intervalo  :


,

onde .


A dedução da regra de Simpson pode ser encontrada por exemplo em [1]

Programação

A seguir um trecho do programa para cálculo da integral da função f(x) (external function f(x))
entre a e b com N pontos, usando o método dos retângulos pela esquerda:

...
Read*, a, b, N
dx = (b-a)/N;  S=0

Do i = 0, N-1
   x = a + i*dx
   S = S + f(x)
EndDo
Print*, "Integral S=", S*dx
...

Os outros métodos se programam de maneira similar mudando limites (índice do laço)
e/ou tratando de forma diferente os valores das pontas.

Erro associado ao método numérico

O método de integração numérico não retorna o valor exato de uma função, visto que não podemos ter no computador . O erro aqui discutido estará vinculado ao número de divisões realizada na função dentro do intervalo que se quer saber o valor da integral. Assim, o erro é definido como

,

onde é o valor retornado pelo método numérico utilizado utilizando divisões e utilizando divisões. Note que um teste simples para verificar quando a resposta está convergindo é aumentar e calcular o erro a cada incremento no seu valor.