Mudanças entre as edições de "Implementação do algoritmo de Neville"

De Física Computacional
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Linha 5: Linha 5:
 
Algoritmo de Neville:
 
Algoritmo de Neville:
  
P_{12} = \frac{1}{x_1 - x_2}[(x - x_2)P_{11} - (x - x_1)P_{22}]
+
:<math>P_{12} = \frac{1}{x_1 - x_2}[(x - x_2)P_{11} - (x - x_1)P_{22}] </math>
 
Olhando em termos da matriz:
 
Olhando em termos da matriz:
  
A_{12} = P_{12} = \frac{1}{X[1] - X[2]}[(x-X[2])A_{11} - (x-X[1])P_{22}].
+
:<math>A_{12} = P_{12} = \frac{1}{X[1] - X[2]}[(x-X[2])A_{11} - (x-X[1])P_{22}].</math>
 
Algoritmo de Neville:
 
Algoritmo de Neville:
  
P_{23} = \frac{1}{x_2 - x_3}[(x-x_3)P_{22} - (x - x_2)P_{33}]
+
:<math>P_{23} = \frac{1}{x_2 - x_3}[(x-x_3)P_{22} - (x - x_2)P_{33}]</math>
 
Mapeamento:
 
Mapeamento:
  
A_{22} = P_{23} = \frac{1}{X[2] - X[3]}[(x-X[3])A_{21} - (x - X[2])A_{31}]
+
:<math>A_{22} = P_{23} = \frac{1}{X[2] - X[3]}[(x-X[3])A_{21} - (x - X[2])A_{31}]</math>
 
A. N.:
 
A. N.:
  
P_{34} = \frac{1}{x_3 - x_4}[(x-x_4)P_{33} - (x-x_3)P_{44}]
+
:<math>P_{34} = \frac{1}{x_3 - x_4}[(x-x_4)P_{33} - (x-x_3)P_{44}]</math>
 
M.:
 
M.:
  
A_{32} = P_{34} = \frac{1}{X[3] - X[4]}[(x-X[4])A_{31} - (x-X[3])A_{41}]
+
:<math>A_{32} = P_{34} = \frac{1}{X[3] - X[4]}[(x-X[4])A_{31} - (x-X[3])A_{41}]</math>
  
 
Já é possível notar que
 
Já é possível notar que
  
A_{ij} = \frac{1}{X[i] - X[k]}[(x - X[k])A_{i,j-1} - (x - X[i])A_{i+1,j-1}], k=j+i-1
+
:<math>A_{ij} = \frac{1}{X[i] - X[k]}[(x - X[k])A_{i,j-1} - (x - X[i])A_{i+1,j-1}], k=j+i-1</math>
 
Continuando com o A. N.:
 
Continuando com o A. N.:
  
P_{123} = \frac{1}{x_1 - x_3}[(x-x_3)P_{12} - (x-x_1)P_{23}]
+
:<math>P_{123} = \frac{1}{x_1 - x_3}[(x-x_3)P_{12} - (x-x_1)P_{23}]</math>
 
M.:
 
M.:
  
A_{13} = P_{123} = \frac{1}{X[1] - X[3]}[(x-X[3])A_{12} - (x-X[1])A_{22}]
+
:<math>A_{13} = P_{123} = \frac{1}{X[1] - X[3]}[(x-X[3])A_{12} - (x-X[1])A_{22}]</math>
 
A. N.:
 
A. N.:
  
P_{234} = \frac{1}{x_2-x_4}[(x-x_4)P_{23} - (x-x_3)P_{34}]
+
:<math>P_{234} = \frac{1}{x_2-x_4}[(x-x_4)P_{23} - (x-x_3)P_{34}]</math>
 
M.:
 
M.:
  
A_{23} = P_{234} = \frac{1}{X[2]-X[4]}[(x-X[4])A_{22} - (x-X[3])A_{32}]
+
:<math>A_{23} = P_{234} = \frac{1}{X[2]-X[4]}[(x-X[4])A_{22} - (x-X[3])A_{32}]</math>
 
A. N.:
 
A. N.:
  
P_{1234} = \frac{1}{x_1 - x_4}[(x-x_4)P_{123} - (x-x_1)P_{234}]
+
:<math>P_{1234} = \frac{1}{x_1 - x_4}[(x-x_4)P_{123} - (x-x_1)P_{234}]</math>
 
M.:
 
M.:
  
A_{14} = P_{1234} = \frac{1}{X[1] - X[4]}[(x-X[4])A_{13} - (x-X[1])A_{23}]
+
:<math>A_{14} = P_{1234} = \frac{1}{X[1] - X[4]}[(x-X[4])A_{13} - (x-X[1])A_{23}]</math>
 
Chegando finalmente a relação de recorrencia
 
Chegando finalmente a relação de recorrencia
  
A_{ij} = \frac{1}{X[i] - X[k]}[(x - X[k])A_{i,j-1} - (x - X[i])A_{i+1,j-1}]
+
:<math>A_{ij} = \frac{1}{X[i] - X[k]}[(x - X[k])A_{i,j-1} - (x - X[i])A_{i+1,j-1}]</math>
 
onde
 
onde
  
k = j + i 1
+
:<math>k = j + i - 1 </math>
 
No final do processo, o polinômio interpolador é dado por
 
No final do processo, o polinômio interpolador é dado por
  
P(x) = A14.
+
:<math>P(x) = A14.</math>
 
A leitura dos pontos é dado pelos valores de X e da primeira coluna da matriz A.
 
A leitura dos pontos é dado pelos valores de X e da primeira coluna da matriz A.
  
X,Y \rightarrow X[i],A[i][1]
+
:<math>X,Y \rightarrow X[i],A[i][1]</math>
 
A ordem do preenchimento é fundamental:
 
A ordem do preenchimento é fundamental:
  
j=1;\, i=1,2,3,4
+
:<math>j=1;\, i=1,2,3,4 </math>
j=2;\, i=1,2,3
+
:<math>j=2;\, i=1,2,3 </math>
j=3;\, i=1,2
+
:<math>j=3;\, i=1,2 </math>
j=4;\, i=1
+
:<math>j=4;\, i=1 </math>
j=1...N; \, i=1...(N-j+1)
+
:<math>j=1...N; \, i=1...(N-j+1) </math>

Edição atual tal como às 07h54min de 25 de outubro de 2011

Neville.png

Aqui é descrito um possível mapeamento para fazer o algoritmo de Neville, são descritas as fórmulas do algoritmo de Neville e seu correspondente mapeamento.

Algoritmo de Neville:

Olhando em termos da matriz:

Algoritmo de Neville:

Mapeamento:

A. N.:

M.:

Já é possível notar que

Continuando com o A. N.:

M.:

A. N.:

M.:

A. N.:

M.:

Chegando finalmente a relação de recorrencia

onde

No final do processo, o polinômio interpolador é dado por

A leitura dos pontos é dado pelos valores de X e da primeira coluna da matriz A.

A ordem do preenchimento é fundamental: