Grupo - Modelo de Szabó
Integrante do grupo: Edson Mateus Signor (282004)
Índice
Introdução
Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivos na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006) [1]criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para queratócitos (células teciduais de cicatrização de feridas nas escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos, para isso definimos o chamado parâmetro de ordem, o qual mede quão ordenado está o sistema, e variamos o valor de ruído presente na representação da locomoção natural das células.
Experimento
Em SZABÓ et al (2006) [1] realizou-se um experimento com uma grande quantidade de células de tecido (queratócitos) a fim de visualizar a migração coletiva. À medida que as células migratórias aumentam, notou-se uma transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado.

Observa-se no vídeo do grupo que para densidades pequenas as células apresentam um movimento aparentemente aleatório, já para uma densidade intermediária há a formação de pequenos clusters, porém não seguem um sentido de movimento em comum. Entretanto para uma alta densidade o movimento torna-se coletivo todos os queratócitos seguindo na mesma direção. Além disso, realizaram medidas experimentais do parâmetro de ordem médio do sistema para vários diferentes valores de densidades de células, a partir disso chegaram ao seguinte resultado:

Assim há mais uma evidência para a transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. Diante disso o modelo a partir de forças atrativas-repulsivas de curto alcance é suficiente para organizar um montante de células em um movimento coerente.
O Modelo
O modelo de Szabó foi construído a fim de interpretar os resultados experimentais e seu comportamento. O modelo para as queratócitos individualmente é baseado em células autopropulsadas, onde suas velocidades são constantes numa direção bem definida. Para o ruído da locomoção das células considera-se um ruído branco na direção da autopropulsão. Além disso, considera-se para a interação intercelular forças de curto alcance, onde o movimento coletivo dos queratócitos emerge partir delas. Considerando o sistema bi-dimensional descrevemos o movimento das N células com um movimento amortecido, logo:
Cada célula com mobilidade segue na direção da autopropulsão
caso não sofra a ação das forças intercelulares.
Cálculo da autopropulsão
A direção de é dado pelo ângulo
, mostrado na figura abaixo.

Assim, como a velocidade das células tentam ajustar sua direção (dado pelo ângulo
) com a de
. Então atribuímos a ela uma força restauradora, caracterizada pela equação diferencial:
é o tempo de relaxação e
é o ruído branco gaussiano da autopropulsão. Usando a fórmula do produto vetorial entre
e
:
Chegamos, assim, na seguinte expressão para o ângulo :
Onde é o vetor unitário perpendicular ao plano de movimento dos queratócitos. Deste modo, para atualizarmos o valor de
basta utilizarmos a seguinte expressão:
Cálculo das forças intercelulares
As forças entre os queratócitos são funções que dependem apenas das distâncias entre os centros de massa de cada um. Os dois principais critérios para a elaboração das forças foram: (i) As células devem ter um volume bem definido e apenas interagirem com os vizinhos mais próximos e (ii) para um certo valor de
as células não devem mais interagirem. Assim considerou-se os queratócitos com um volume de raio
, onde sofrem uma força repulsiva até uma distância
, uma força atrativa entre as distâncias
e
e zero para maiores que
. Então temos a seguinte forma:
Onde ,
,
é o máximo valor da força repulsiva para
e
é o máximo valor da força atrativa para
(Como pode ser visto na figura 4).

Com isso a dinâmica dos queratócitos está completa.
Resultados
Finalizado a dinâmica das células utilizou-se um programa em Python para simular os queratócitos para três diferentes valores de ruído. Porque além de apresentar uma transição de fase cinética variando a densidade (Como mostrado no experimento), também há uma transição variando a intensidade do ruído, ou seja, a potência natural da autopropulsão. Com isso, dado o programa obteve-se as seguintes simulações:
Parâmetro de Ordem
Para visualizar a transição de fase cinética definiu-se um parâmetro de ordem onde é definido da seguinte maneira:
Neste parâmetro queremos basicamente medir o quão desordenado está o sistema. Então a ideia é somar vetorialmente as velocidades de cada célula - dividida pelos seus respectivos módulos, pois só nos interessa a direção - e normalizamos pela quantidade de células. Além disso, ainda se faz uma média temporal a fim de melhorar ainda mais a medida. Tal tipo de parâmetro foi definido porque, por exemplo, se o sistema está em um estado dito desordenado esperamos os queratócitos vagando em direção aparentemente aleatórias, logo se somarmos as velocidades a resultante será um vetor nulo, e o valor de tenderá a zero. Já quando o sistema estiver um estado dito ordenado, as células estarão em um movimento coletivo, ou seja, o módulo da velocidade resultante será diferente de zero, por conseguinte, o valor de
tenderá a 1.
Resultado do Parâmetro de ordem
Antes de calcular o parâmetro fazendo a média temporal, temos que observar o gráfico da evolução temporal de
(fazendo uso do programa em Python
):
Nota-se que há um transiente, com isso então para realizar o cálculo da média apenas utiliza-se os valores de para a cima de 50 interações a fim de desprezar o transiente e obter uma melhor média.
Feito isto, com um outro programa em Python
temos o resultado obtido a partir das simulações:
Assim, nota-se que se obteve um gráfico característico de uma transição de fase confirmando o que havíamos esperado. Fazendo uso de mais partículas pode-se chegar em um gráfico como o feito em SZABÓ et al (2006) [1].

Códigos
Modelo de Szabó - Simulação dos queratócitos
Modelo de Szabó - Evolução temporal do parâmetro de ordem
Modelo de Szabó - Transição de fase