Mudanças entre as edições de "Grupo - Modelo de Szabó"

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'''Integrante do grupo:''' Edson Mateus Signor (282004)
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'''Integrante do grupo:''' Edson Mateus Signor (282004)
  
==Introdução==
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==Introdução==
Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivo na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006) criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para células de queratócitos (células de cicatrização de feridas na escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos conforme variamos um parâmetro que ajusta o coeficiente de autopropulsão das células.
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Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivos na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006) <ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref> criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para queratócitos (células teciduais de cicatrização de feridas nas escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos, para isso definimos o chamado parâmetro de ordem, o qual mede quão ordenado está o sistema, e variamos o valor de ruído presente na representação da locomoção natural das células.   
  
==Experimento==
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No mesmo artigo de SZABÓ et al (2006) realizaram um experimento a fim de
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==Experimento==
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Em SZABÓ et al (2006) <ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref> realizou-se um experimento com uma grande quantidade de células de tecido (queratócitos) a fim de visualizar a migração coletiva.  À medida que as células migratórias aumentam, notou-se uma transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. 
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[[Arquivo:Experiment.gif|frame|200x200px|center|Gráfico 1: Migração coletiva de queratócitos para diferentes densidades. <ref>http://angel.elte.hu/~bszabo/collectivecells/</ref>]] 
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Observa-se no vídeo do grupo que para densidades pequenas as células apresentam um movimento aparentemente aleatório, já para uma densidade intermediária há a formação de pequenos clusters, porém não seguem um sentido de movimento em comum. Entretanto para uma alta densidade o movimento torna-se coletivo todos os queratócitos seguindo na mesma direção. Além disso, realizaram medidas experimentais do parâmetro de ordem médio do sistema para vários diferentes valores de densidades de células, a partir disso chegaram ao seguinte resultado: 
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[[Arquivo:Parametro_ordem.png|frame|300x300px|center|Gráfico 2: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.<ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref>]] 
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Assim há mais uma evidência para a transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. Diante disso o modelo a partir de forças atrativas-repulsivas de curto alcance é suficiente para organizar um montante de células em um movimento coerente. 
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==O Modelo== 
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O modelo de Szabó foi construído a fim de interpretar os resultados experimentais e seu comportamento. O modelo para as queratócitos individualmente é baseado em células autopropulsadas, onde suas velocidades são constantes numa direção bem definida. Para o ruído da locomoção das células considera-se um ruído branco na direção da autopropulsão. Além disso, considera-se para a interação intercelular forças de curto alcance, onde o movimento coletivo dos queratócitos emerge partir delas.
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Considerando o sistema bi-dimensional descrevemos o movimento das N células com um movimento amortecido, logo: 
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<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> 
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Cada célula com mobilidade <math>\mu </math> segue na direção da autopropulsão <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> caso não sofra a ação das forças intercelulares. 
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===Cálculo da autopropulsão ===   
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A direção de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> é dado pelo ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>, mostrado na figura abaixo. 
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[[Arquivo:Imagem_int_celulas.png|frame|300x300px|center|Gráfico 3: Esquematização das células de queratócitos para o modelo de Szabó.<ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref>]] 
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Assim, como a velocidade <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> das células tentam ajustar sua direção (dado pelo ângulo <math>\phi _{i}^{n}(t) </math >) com a de <math> \textbf{n}_{i}(t) </math>. Então atribuímos a ela uma força restauradora, caracterizada pela equação diferencial: 
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<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{(\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t))}{\tau} + \xi</math> 
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<math>\tau</math> é o tempo de relaxação e <math>\xi</math> é o ruído branco gaussiano da autopropulsão. Usando a fórmula do produto vetorial entre <math> \textbf{v}_{i}(t) </math> e  <math> \textbf{n}_{i}(t) </math> : 
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<math>\sin\left({\theta_{i}^{n}(t) - \phi_{i}^{n}(t)}\right) = \textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}</math> 
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Chegamos, assim, na seguinte expressão para o ângulo <math>\theta _{i}^{n}(t) </math>: 
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<math>\frac{d\theta_{i}^{n}(t)}{dt} = \frac{1}{\tau} arcsin\left[\left(\textbf{n}_{i}(t)\frac{\textbf{v}_{i}(t_{k})}{|\textbf{v}_{i}(t_{k})|}\right)\cdot\textbf{e}_{z}\right] + \xi</math> 
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Onde <math> \textbf{e}_{z} </math> é o vetor unitário perpendicular ao plano de movimento dos queratócitos. Deste modo, para atualizarmos o valor de <math>n_{i}(t)</math> basta utilizarmos a seguinte expressão: 
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<math>\textbf{n}_{i}(t) = \cos{\theta_{i}^{n}(t)} \hat{\textbf{x}} + \sin{\theta_{i}^{n}(t)}\hat{\textbf{y}}</math> 
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===Cálculo das forças intercelulares=== 
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As forças entre os queratócitos são funções que dependem apenas das distâncias <math> d_{ij}</math> entre os centros de massa de cada um. Os dois principais critérios para a elaboração das forças foram: (i) As células devem ter um volume bem definido e apenas interagirem com os vizinhos mais próximos e (ii) para um certo valor de <math> d_{ij}</math> as células não devem mais interagirem. Assim considerou-se os queratócitos com um volume de raio <math>R_0/2</math>, onde sofrem uma força repulsiva até uma distância <math>R_{eq}</math>, uma força atrativa entre as distâncias <math>R_{eq}</math>  e <math>R_0</math> e zero para maiores que <math>R_0</math>. Então temos a seguinte forma: 
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<math>
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\textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} ) = \textbf{e}_{ij}\begin{cases} 
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F_{rep}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{eq}},\quad        d_{ij} < R_{eq} \\ 
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F_{adh}\frac{d_{ij} - R_{eq}}{R_{0} - Re_{eq}}, \; \; R_{eq} \le d_{ij} \le R_{0}\\ 
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0, \quad \quad \quad \quad \quad \; d_{ij} > R_{0}\\ 
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\end{cases} 
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</math> 
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Onde <math>\textbf{e}_{ij} = \frac{\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j}}{|\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} |}</math>, <math>d_{ij} = |\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{j} | </math>, <math>F_{rep}</math> é o máximo valor da força repulsiva para  <math>d_{ij} = 0</math> e <math>F_{adh}</math>  é o máximo valor da força atrativa para <math>d_{ij} = R_{0}</math> (Como pode ser visto na figura 4). 
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[[Arquivo:Graf_forças.png|frame|300x300px|center|Gráfico 4: Gráfico das forças intercelulares.<ref>B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)</ref>]] 
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Com isso a dinâmica dos queratócitos está completa. 
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==Resultados== 
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Finalizado a dinâmica das células utilizou-se um programa em Python para simular os queratócitos para três diferentes valores de ruído. Porque além de apresentar uma transição de fase cinética variando a densidade (Como mostrado no experimento), também há uma transição variando a intensidade do ruído, ou seja, a potência natural da autopropulsão. Com isso, dado o programa <math>\it{Simulacao \; dos \; queratocitos\;}</math> obteve-se as seguintes simulações: 
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[[Arquivo: Ezgif.com-gif-maker(1).gif|frame|400x400px|center|Gráfico 5: Simulação dos queratocitos para um ruído baixo.]]
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[[Arquivo:Experiment.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 6: Simulação dos queratocitos para um ruído intermediário]]
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[[Arquivo: Eta 5 5das.gif|frame|400x400px|center|Gráfico 7: Simulação dos queratocitos para um ruído alto]]
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== Parâmetro de Ordem== 
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Para visualizar a transição de fase cinética definiu-se um parâmetro de ordem <math>V</math> onde é definido da seguinte maneira: 
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<math>\frac{d\textbf{r}_{i}(t)}{dt}= v_{0}\textbf{n}_{i}(t) + \mu \sum_{j=1}^N \textbf{F}(\textbf{r}_{i}, \textbf{r}_{j} )</math> 
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<math> \overline{V} =  \langle V\rangle_{t_k}</math> 
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Neste parâmetro queremos basicamente medir o quão desordenado está o sistema. Então a ideia é somar vetorialmente as velocidades de cada célula - dividida pelos seus respectivos módulos, pois só nos interessa a direção - e normalizamos pela quantidade de células. Além disso, ainda se faz uma média temporal a fim de melhorar ainda mais a medida. Tal tipo de parâmetro foi definido porque, por exemplo, se o sistema está em um estado dito desordenado esperamos os queratócitos vagando em direção aparentemente aleatórias, logo se somarmos as velocidades a resultante será um vetor nulo, e o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a zero. Já quando o sistema estiver um estado dito ordenado, as células estarão em um movimento coletivo, ou seja, o módulo da velocidade resultante será diferente de zero, por conseguinte, o valor de <math>\overline{V}</math> tenderá a 1.   
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=== Resultado do Parâmetro de ordem === 
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Antes de calcular o parâmetro <math>\overline{V}</math> fazendo a média temporal, temos que observar o gráfico da evolução temporal de <math>\overline{V}</math> (fazendo uso do programa em Python <math>\it{Evolucao \;temporal\; do \;parâmetro \;de \;ordem\;}</math>): 
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[[Arquivo: VxT.png |frame|300x300px|center|Gráfico 8: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.]]
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Nota-se que há um transiente, com isso então para realizar o cálculo da média apenas utiliza-se os valores de <math>\overline{V}</math> para a cima de 50 interações a fim de desprezar o transiente e obter uma melhor média. 
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Feito isto, com um outro programa em Python <math>\it{Transicao \; de \;fase \;}</math> temos o resultado obtido a partir das simulações: 
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Assim, nota-se que se obteve um gráfico característico de uma transição de fase confirmando o que havíamos esperado.   
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==Códigos== 
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[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/simula%C3%A7%C3%A3o_queratocitos.py  Modelo de Szabó - Simulação dos queratócitos] 
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[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/verf_transiente_V.py  Modelo de Szabó  - Evolução temporal do parâmetro de ordem] 
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[https://github.com/edsonsignor/metcompC/blob/master/Parametro_de_ordem.py  Modelo de Szabó - Transição de fase] 
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==Bibliografia== 
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<references/>

Edição das 21h26min de 4 de janeiro de 2020

Integrante do grupo: Edson Mateus Signor (282004)

Introdução

Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivos na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006) [1] criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para queratócitos (células teciduais de cicatrização de feridas nas escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos, para isso definimos o chamado parâmetro de ordem, o qual mede quão ordenado está o sistema, e variamos o valor de ruído presente na representação da locomoção natural das células.


Experimento

Em SZABÓ et al (2006) [2] realizou-se um experimento com uma grande quantidade de células de tecido (queratócitos) a fim de visualizar a migração coletiva. À medida que as células migratórias aumentam, notou-se uma transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado.


Gráfico 1: Migração coletiva de queratócitos para diferentes densidades. [3]


Observa-se no vídeo do grupo que para densidades pequenas as células apresentam um movimento aparentemente aleatório, já para uma densidade intermediária há a formação de pequenos clusters, porém não seguem um sentido de movimento em comum. Entretanto para uma alta densidade o movimento torna-se coletivo todos os queratócitos seguindo na mesma direção. Além disso, realizaram medidas experimentais do parâmetro de ordem médio do sistema para vários diferentes valores de densidades de células, a partir disso chegaram ao seguinte resultado:


Gráfico 2: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.[4]


Assim há mais uma evidência para a transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. Diante disso o modelo a partir de forças atrativas-repulsivas de curto alcance é suficiente para organizar um montante de células em um movimento coerente.


O Modelo

O modelo de Szabó foi construído a fim de interpretar os resultados experimentais e seu comportamento. O modelo para as queratócitos individualmente é baseado em células autopropulsadas, onde suas velocidades são constantes numa direção bem definida. Para o ruído da locomoção das células considera-se um ruído branco na direção da autopropulsão. Além disso, considera-se para a interação intercelular forças de curto alcance, onde o movimento coletivo dos queratócitos emerge partir delas. Considerando o sistema bi-dimensional descrevemos o movimento das N células com um movimento amortecido, logo:

  

Cada célula com mobilidade segue na direção da autopropulsão caso não sofra a ação das forças intercelulares.


Cálculo da autopropulsão

A direção de é dado pelo ângulo , mostrado na figura abaixo.


Gráfico 3: Esquematização das células de queratócitos para o modelo de Szabó.[5]


Assim, como a velocidade das células tentam ajustar sua direção (dado pelo ângulo ) com a de . Então atribuímos a ela uma força restauradora, caracterizada pela equação diferencial:

  

é o tempo de relaxação e é o ruído branco gaussiano da autopropulsão. Usando a fórmula do produto vetorial entre e  :

  

Chegamos, assim, na seguinte expressão para o ângulo :

  

Onde é o vetor unitário perpendicular ao plano de movimento dos queratócitos. Deste modo, para atualizarmos o valor de basta utilizarmos a seguinte expressão:

  


Cálculo das forças intercelulares

As forças entre os queratócitos são funções que dependem apenas das distâncias entre os centros de massa de cada um. Os dois principais critérios para a elaboração das forças foram: (i) As células devem ter um volume bem definido e apenas interagirem com os vizinhos mais próximos e (ii) para um certo valor de as células não devem mais interagirem. Assim considerou-se os queratócitos com um volume de raio , onde sofrem uma força repulsiva até uma distância , uma força atrativa entre as distâncias e e zero para maiores que . Então temos a seguinte forma:

  

Onde , , é o máximo valor da força repulsiva para e é o máximo valor da força atrativa para (Como pode ser visto na figura 4).


Gráfico 4: Gráfico das forças intercelulares.[6]


Com isso a dinâmica dos queratócitos está completa.


Resultados

Finalizado a dinâmica das células utilizou-se um programa em Python para simular os queratócitos para três diferentes valores de ruído. Porque além de apresentar uma transição de fase cinética variando a densidade (Como mostrado no experimento), também há uma transição variando a intensidade do ruído, ou seja, a potência natural da autopropulsão. Com isso, dado o programa obteve-se as seguintes simulações:


Gráfico 5: Simulação dos queratocitos para um ruído baixo.


Gráfico 6: Simulação dos queratocitos para um ruído intermediário


Gráfico 7: Simulação dos queratocitos para um ruído alto


Parâmetro de Ordem

Para visualizar a transição de fase cinética definiu-se um parâmetro de ordem onde é definido da seguinte maneira:

  
  


Neste parâmetro queremos basicamente medir o quão desordenado está o sistema. Então a ideia é somar vetorialmente as velocidades de cada célula - dividida pelos seus respectivos módulos, pois só nos interessa a direção - e normalizamos pela quantidade de células. Além disso, ainda se faz uma média temporal a fim de melhorar ainda mais a medida. Tal tipo de parâmetro foi definido porque, por exemplo, se o sistema está em um estado dito desordenado esperamos os queratócitos vagando em direção aparentemente aleatórias, logo se somarmos as velocidades a resultante será um vetor nulo, e o valor de tenderá a zero. Já quando o sistema estiver um estado dito ordenado, as células estarão em um movimento coletivo, ou seja, o módulo da velocidade resultante será diferente de zero, por conseguinte, o valor de tenderá a 1.

Resultado do Parâmetro de ordem

Antes de calcular o parâmetro fazendo a média temporal, temos que observar o gráfico da evolução temporal de (fazendo uso do programa em Python ):


Gráfico 8: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.


Nota-se que há um transiente, com isso então para realizar o cálculo da média apenas utiliza-se os valores de para a cima de 50 interações a fim de desprezar o transiente e obter uma melhor média. Feito isto, com um outro programa em Python temos o resultado obtido a partir das simulações:



Assim, nota-se que se obteve um gráfico característico de uma transição de fase confirmando o que havíamos esperado.


Códigos

Modelo de Szabó - Simulação dos queratócitos

Modelo de Szabó - Evolução temporal do parâmetro de ordem

Modelo de Szabó - Transição de fase


Bibliografia

  1. B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)
  2. B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)
  3. http://angel.elte.hu/~bszabo/collectivecells/
  4. B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)
  5. B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)
  6. B.Szabó, G. J.Szöllösi, B.Gönci, Zs.Jurányi, D.Selmeczi, and T.Vicsek. PHYSICAL REVIEW E 74, 061908 (2006)