Grupo - Modelo de Potts

De Física Computacional
Edição feita às 23h18min de 24 de janeiro de 2018 por Eliseuvf (Discussão | contribs)

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Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina.

Descrição do modelo

No modelo de Potts à estados são considerados spins dispostos em uma rede, geralmente bidimesnsional retangular, cada spin podendo estar em um de estados possíveis.

O Hamiltoniano desse sistema é


onde é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, é a função delta de Kronecker que retorna se e retorna para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares de spins vizinhos.

No caso ferromagnético o nível fundamental de energia possui uma degenerescência igual à correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.

Relação com o modelo de Ising

É importante remarcar que para o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento a menos de uma constante aditiva no Hamiltoniano.


nesse caso os spins e tem apenas dois valores possíveis e


logo considerando como valores possíveis para os spin como e encontramos


Simulação Monte Carlo

A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com pequeno é naturalmente similar àquela utilizada para o modelo de Ising, seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico.

Amostragem por importância

Para entender porque o algoritmo de Metropolis não é otimal para uma simulação Monte Carlo de um sistema seguindo o modelo de Potts devemos nos lembrar como ele resolve o problema de amostragem por importância.

As condições necessárias para a amostragem por importância são:

  • Ergodicidade: a garantia de que qualquer estado do sistema é acessível à partir de qualquer outro estado dado um comprimento suficientemente grande da cadeia de Markov.
  • Balanço detalhado: a garantia de que a cadeia de Markov de matriz estocástica vai convergir, quando o sistema atingir o equilíbrio térmico, para uma dada distribuição .

No caso do ensemble canônico essa distribuição é a distribuição de Boltzmann


onde é a função de partição e é o inverso da temperatura.

Considerando a probabilidade de transição de estado como o produto de uma probabilidade de seleção de um novo estado , a probabilidade de considerar como o próximo estado na cadeia dado o estado atual , e uma probabilidade de aceitação de transição


o algoritmo de Metropolis atribui um valor fixo e uniforme para a probabilidade de seleção


que claramente garante a ergodicidade, restando apenas uma condição sobre os valores das probabilidades de aceitação:


que é satisfeita com a seguinte lei de seleção:


O problema desse algoritmo para um modelo como o de Potts que admite um número elevado de estados possíveis para o spin é evidenciado quando consideramos um sistema à baixa temperatura. Para altas temperaturas a probabilidade de aceitação é igual à ou suficientemente alta por conta de um pequeno tornando algoritmo eficiente, entretanto à baixa temperatura os spins tendem à se alinhar com seus vizinhos constituindo o fenômeno do ferromagnetismo.

Referências

Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings.

M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.