Mudanças entre as edições de "Grupo - Modelo de Potts"

De Física Computacional
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onde <math>J</math> é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, <math>\delta(s_i,s_j)</math> é a função delta de Kronecker que retorna <math>1</math> se <math>s_i=s_j</math> e retorna <math>0</math> para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares <math>(i,j)</math> de spins vizinhos.
 
onde <math>J</math> é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, <math>\delta(s_i,s_j)</math> é a função delta de Kronecker que retorna <math>1</math> se <math>s_i=s_j</math> e retorna <math>0</math> para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares <math>(i,j)</math> de spins vizinhos.
  
No caso ferromagnético <math>J>0</math> o nivel fundamental de energia possui uma degenerescência igual à <math>q</math> correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.
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No caso ferromagnético <math>J>0</math> o nível fundamental de energia possui uma degenerescência igual à <math>q</math> correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.
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==Relação com o modelo de Ising==
  
 
É importante remarcar que para <math>q=2</math> o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento <math>\frac{J}{2}</math> a menos de uma constante aditiva <math>\sum_{(i,j)}\frac{J}{2}</math> no Hamiltoniano.
 
É importante remarcar que para <math>q=2</math> o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento <math>\frac{J}{2}</math> a menos de uma constante aditiva <math>\sum_{(i,j)}\frac{J}{2}</math> no Hamiltoniano.
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  <math>p_\mu = \frac{1}{Z}e^{-\beta E_\mu}</math>
 
  <math>p_\mu = \frac{1}{Z}e^{-\beta E_\mu}</math>
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onde <math>Z</math> é a função de partição e <math>\beta = \frac{1}{k_B T}</math> é o inverso da temperatura.
  
 
Considerando a probabilidade de transição de estado como o produto de uma probabilidade de seleção de um novo estado <math>g(\mu \rightarrow \nu)</math>, a probabilidade de considerar <math>\nu</math> como o próximo estado na cadeia dado o estado atual <math>/mu</math>, e uma probabilidade de aceitação de transição <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math>
 
Considerando a probabilidade de transição de estado como o produto de uma probabilidade de seleção de um novo estado <math>g(\mu \rightarrow \nu)</math>, a probabilidade de considerar <math>\nu</math> como o próximo estado na cadeia dado o estado atual <math>/mu</math>, e uma probabilidade de aceitação de transição <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math>
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  \end{cases}</math>
 
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O problema desse algoritmo para um modelo como o de Potts que admite um número elevado de estados possíveis para o spin
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O problema desse algoritmo para um modelo como o de Potts que admite um número elevado de estados possíveis para o spin é evidenciado quando consideramos um sistema à baixa temperatura. Consideram
  
 
=Referências=
 
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Edição das 22h07min de 24 de janeiro de 2018

Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina.

Descrição do modelo

No modelo de Potts à estados são considerados spins dispostos em uma rede, geralmente bidimesnsional retangular, cada spin podendo estar em um de estados possíveis.

O Hamiltoniano desse sistema é


onde é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, é a função delta de Kronecker que retorna se e retorna para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares de spins vizinhos.

No caso ferromagnético o nível fundamental de energia possui uma degenerescência igual à correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.

Relação com o modelo de Ising

É importante remarcar que para o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento a menos de uma constante aditiva no Hamiltoniano.


nesse caso os spins e tem apenas dois valores possíveis e


logo considerando como valores possíveis para os spin como e encontramos


Simulação Monte Carlo

A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com pequeno é naturalmente similar àquela utilizada para o modelo de Ising, seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico.

Amostragem por importância

Para entender porque o algoritmo de Metropolis não é otimal para uma simulação Monte Carlo de um sistema seguindo o modelo de Potts devemos nos lembrar como ele resolve o problema de amostragem por importância.

As condições necessárias para a amostragem por importância são:

  • Ergodicidade: a garantia de que qualquer estado do sistema é acessível à partir de qualquer outro estado dado um comprimento suficientemente grande da cadeia de Markov.
  • Balanço detalhado: a garantia de que a cadeia de Markov de matriz estocástica vai convergir, quando o sistema atingir o equilíbrio térmico, para uma dada distribuição .

No caso do ensemble canônico essa distribuição é a distribuição de Boltzmann


onde é a função de partição e é o inverso da temperatura.

Considerando a probabilidade de transição de estado como o produto de uma probabilidade de seleção de um novo estado , a probabilidade de considerar como o próximo estado na cadeia dado o estado atual , e uma probabilidade de aceitação de transição


o algoritmo de Metropolis atribui um valor fixo e uniforme para a probabilidade de seleção


que claramente garante a ergodicidade, restando apenas uma condição sobre os valores das probabilidades de aceitação:


que é satisfeita com a seguinte lei de seleção:


O problema desse algoritmo para um modelo como o de Potts que admite um número elevado de estados possíveis para o spin é evidenciado quando consideramos um sistema à baixa temperatura. Consideram

Referências

Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings.

M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.