Mudanças entre as edições de "Grupo - Modelo de Potts"

De Física Computacional
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Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina.
 
Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina.
  
==Descrição do modelo==
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=Descrição do modelo=
 
No modelo de Potts à <math>q</math> estados são considerados <math>N</math> spins <math>s_i</math> dispostos em uma rede, geralmente bidimesnsional retangular, cada spin podendo estar em um de <math>q</math> estados possíveis.
 
No modelo de Potts à <math>q</math> estados são considerados <math>N</math> spins <math>s_i</math> dispostos em uma rede, geralmente bidimesnsional retangular, cada spin podendo estar em um de <math>q</math> estados possíveis.
  
 
O Hamiltoniano desse sistema é
 
O Hamiltoniano desse sistema é
  
<math>H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) </math>
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<math>H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) </math>
  
 
onde <math>J</math> é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, <math>\delta(s_i,s_j)</math> é a função delta de Kronecker que retorna <math>1</math> se <math>s_i=s_j</math> e retorna <math>0</math> para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares <math>(i,j)</math> de spins vizinhos.
 
onde <math>J</math> é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, <math>\delta(s_i,s_j)</math> é a função delta de Kronecker que retorna <math>1</math> se <math>s_i=s_j</math> e retorna <math>0</math> para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares <math>(i,j)</math> de spins vizinhos.
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No caso ferromagnético <math>J>0</math> o nivel fundamental de energia possui uma degenerescência igual à <math>q</math> correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.
 
No caso ferromagnético <math>J>0</math> o nivel fundamental de energia possui uma degenerescência igual à <math>q</math> correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.
  
É Importante remarcar que para <math>q=2</math> o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento <math>\frac{J}{2}</math> a menos de uma constante aditiva <math>-\sum_{(i,j)}\frac{J}{2}</math> no Hamiltoniano.
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É importante remarcar que para <math>q=2</math> o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento <math>\frac{J}{2}</math> a menos de uma constante aditiva <math>\sum_{(i,j)}\frac{J}{2}</math> no Hamiltoniano.
  
==Simulação Monte Carlo==
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<math>H_I = H_p + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -J\sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{(i,j)} (2\delta(s_i,s_j) - 1) </math>
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nesse caso os spins <math>s_i</math> e <math>s_j</math> tem apenas dois valores possíveis e
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<math> 2\delta(s_i,s_j) - 1 = \begin{cases}
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1, \quad \text{se } s_i = s_j \\
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-1, \quad \text{se } s_i \neq s_j
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\end{cases}</math>
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logo considerando como valores possíveis para os spin como <math>-1</math> e <math>1</math> encontramos
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<math>H_I = H_p + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{(i,j)} s_i s_j </math>
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=Simulação Monte Carlo=
  
 
A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com <math>q</math> pequeno é naturalmente similar àquela utilizada para o modelo de Ising, seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de <math>q</math> esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico.
 
A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com <math>q</math> pequeno é naturalmente similar àquela utilizada para o modelo de Ising, seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de <math>q</math> esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico.
==Referências==
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==Amostragem por importância==
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Para entender porque o algoritmo de Metropolis não é otimal para uma simulação Monte Carlo de um sistema seguindo o modelo de Potts devemos nos lembrar como ele resolve o problema de amostragem por importância.
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As condições necessárias para a amostragem por importância são:
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* Ergodicidade: a garantia de que qualquer estado do sistema é acessível à partir de qualquer outro estado dado um comprimento suficientemente grande da cadeia de Markov.
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* Balanço detalhado: a garantia de que a cadeia de Markov de matriz estocástica <math>P(\mu \rightarrow \nu)</math> vai convergir, quando o sistema atingir o equilíbrio térmico, para uma dada distribuição <math>{p_\mu}</math>.
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<math>p_\mu P(\mu \rightarrow \nu) = p_\nu P(\nu \rightarrow \mu)</math>
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No caso do ensemble canônico essa distribuição é a distribuição de Boltzmann
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<math>p_\mu = \frac{1}{Z}e^{-\beta E_\mu}</math>
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Considerando a probabilidade de transição de estado como o produto de uma probabilidade de seleção de um novo estado <math>g(\mu \rightarrow \nu)</math>, a probabilidade de considerar <math>\nu</math> como o próximo estado na cadeia dado o estado atual <math>/mu</math>, e uma probabilidade de aceitação de transição <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math>
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<math>P(\mu \rightarrow \nu) = g(\mu \rightarrow \nu)A(\mu \rightarrow \nu)</math>
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o algoritmo de Metropolis atribui um valor fixo e uniforme para a probabilidade de seleção
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<math>g(\mu \rightarrow \nu) = g(\nu \rightarrow \mu) = \frac{1}{N} \quad \forall \mu, \nu</math>
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que claramente garante a ergodicidade, restando apenas uma condição sobre os valores das probabilidades de aceitação:
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<math>\frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = \frac{p_\nu}{p_\mu} = e^{\beta (E_\nu - E_\mu)}</math>
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que é satisfeita com a seguinte lei de seleção:
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<math> A(\mu \rightarrow \nu) = \begin{cases}
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e^{-\beta(E_\nu - E_\mu)}, \quad \text{se } E_\nu > E_\mu \\
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1, \quad \text{caso contrario}
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\end{cases}</math>
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O problema desse algoritmo para um modelo como o de Potts que admite um número elevado de estados possíveis para o spin
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=Referências=
  
 
Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings.
 
Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings.
  
 
M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.
 
M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.

Edição das 21h43min de 24 de janeiro de 2018

Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina.

Descrição do modelo

No modelo de Potts à estados são considerados spins dispostos em uma rede, geralmente bidimesnsional retangular, cada spin podendo estar em um de estados possíveis.

O Hamiltoniano desse sistema é


onde é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, é a função delta de Kronecker que retorna se e retorna para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares de spins vizinhos.

No caso ferromagnético o nivel fundamental de energia possui uma degenerescência igual à correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.

É importante remarcar que para o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento a menos de uma constante aditiva no Hamiltoniano.


nesse caso os spins e tem apenas dois valores possíveis e


logo considerando como valores possíveis para os spin como e encontramos


Simulação Monte Carlo

A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com pequeno é naturalmente similar àquela utilizada para o modelo de Ising, seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico.

Amostragem por importância

Para entender porque o algoritmo de Metropolis não é otimal para uma simulação Monte Carlo de um sistema seguindo o modelo de Potts devemos nos lembrar como ele resolve o problema de amostragem por importância.

As condições necessárias para a amostragem por importância são:

  • Ergodicidade: a garantia de que qualquer estado do sistema é acessível à partir de qualquer outro estado dado um comprimento suficientemente grande da cadeia de Markov.
  • Balanço detalhado: a garantia de que a cadeia de Markov de matriz estocástica vai convergir, quando o sistema atingir o equilíbrio térmico, para uma dada distribuição .

No caso do ensemble canônico essa distribuição é a distribuição de Boltzmann


Considerando a probabilidade de transição de estado como o produto de uma probabilidade de seleção de um novo estado , a probabilidade de considerar como o próximo estado na cadeia dado o estado atual , e uma probabilidade de aceitação de transição


o algoritmo de Metropolis atribui um valor fixo e uniforme para a probabilidade de seleção


que claramente garante a ergodicidade, restando apenas uma condição sobre os valores das probabilidades de aceitação:


que é satisfeita com a seguinte lei de seleção:


O problema desse algoritmo para um modelo como o de Potts que admite um número elevado de estados possíveis para o spin

Referências

Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings.

M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.