Grupo - Lennard Jones

De Física Computacional
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O potencial devido a interação entre duas partículas separadas por uma distância pode ser modelado pelo potencial de Lennard Jones:

Posto em unidades reduzidas ( e ), o potencial reduz-se a:

Trabalha-se, por conveniência, com o seguintes sistema de unidades básicas:

Grandeza Comprimento Tempo Massa Temperatura Energia Pressão Densidade
Unidade

onde é a massa da partícula e é a constante de Boltzmann. .

Método Monte Carlo

Denomina-se método de Monte Carlo métodos estatísticos que se baseiam em amostragem aleatória massiva para cálculo numérico.

Amostragem simples

Pode-se querer calcular uma integral numericamente utilizando Monte Carlo. Uma forma de fazer isso parte de que uma integral pode ser reescrita como

Dessa forma, utiliza-se amostragem aleatória massiva para estimar , que é a média da função no intervalo de interesse.

Amostragem por importância

Um problema da amostragem simples é que ela utiliza uma distribuição uniforme, que pode, pra uma função que decaia rapidamente a zero, demorar muito a estimar corretamente o valor médio da função. Porém, podemos utilizar uma distribuição que tenha um formato semelhante à função que queremos integrar, reescrevendo a integral


Algoritmo de Metropolis

Dado uma amostra com partículas, a abordagem introduzida por Metropolis segue o seguinte esquema:

(1) Selecionar uma partícula aleatóriamente, e calcular sua energia ;
(2) Dado o deslocamento , calcular ;
(3) Aceitar o movimento  com probabilidade 

Estimadores no Equilíbrio

Em todos os exemplos tratados aqui, será usado o ensemble NVT (com o número de partículas, volume e temperatura constantes). Dado isso, os sistemas são caracterizados com um densidade e uma temperatura. Com tais sistema no equilíbrio, são estimadas (média de sucessivas medidas) a energia total e a pressão, dadas respectivamente por




onde . Além disso, é interessante a análise da capacidade térmica


Detalhes Técnicos

Condições de Contorno

Truncagem nas interações

Translação

Diagramas de fase

Dado um sistema com densidade e temperatura , os diagramas foram feitos com:

 (A)  partículas;
 (B) Cubo de lado  com condições de contorno periódicas;
 (C) Incialização aleatória;
 (D) Distância de corte ;
 (E) Deslocamento .

T = 2.0 (acima do valor crítico)

T 20 P.png

T 20 C.png

Arquivo:T 20 U.png

T = 0.9 (abaixo do valor crítico)

T 09 P.png

T 09 C.png

Arquivo:T 09 U.png

Referências