Mudanças entre as edições de "Grupo - Lennard Jones"

De Física Computacional
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(T = 2.0 (acima do valor crítico))
(Algoritmo de Metropolis–Hastings)
 
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O potencial devido a interação entre duas partículas separadas por uma distância <math>r'</math> pode ser modelado pelo potencial de Lennard-Jones <ref>Lennard-Jones, J. E. (1931). "Wave Functions of Many-Electron Atoms". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 27 (3): 469</ref>:
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Alunos: Ben-Hur Cardoso e Vinícius Garcia
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O potencial devido a interação entre duas partículas separadas por uma distância <math>r'</math> pode ser modelado pelo potencial de Lennard-Jones <ref>Lennard-Jones, J. E. (1924), "On the Determination of Molecular Fields", Proc. R. Soc. Lond. A, 106 (738): 463–477</ref>:
  
 
  <math>U'(r') = 4 \epsilon \left [ \left ( \frac{\sigma}{r'} \right )^{12} - \left ( \frac{\sigma}{r'} \right )^{6} \right ]</math>
 
  <math>U'(r') = 4 \epsilon \left [ \left ( \frac{\sigma}{r'} \right )^{12} - \left ( \frac{\sigma}{r'} \right )^{6} \right ]</math>
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  <math>U(r) = 4  \left [ \left ( \frac{1}{r} \right )^{12} - \left ( \frac{1}{r} \right )^{6} \right ]</math>
 
  <math>U(r) = 4  \left [ \left ( \frac{1}{r} \right )^{12} - \left ( \frac{1}{r} \right )^{6} \right ]</math>
  
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As quantidades físicas de interesse (como pressão, tempo e temperatura) possuem ordens de grandeza muito diferentes entre si quando se usa unidades do Sistema Internacional, o que faz com que fique difícil de identificar erros. Por causa disso, é conveniente trabalhar com o seguintes sistema de unidades básicas, que mantém os valores em baixas ordens de grandeza:
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As quantidades físicas de interesse (como pressão, tempo e temperatura) possuem ordens de grandeza muito diferentes entre si quando se usa unidades do Sistema Internacional, o que faz com que fique difícil de identificar erros. Por causa disso, é computacionalmente viável trabalhar com o seguintes sistema de unidades básicas, que mantém os valores em baixas ordens de grandeza:
  
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
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  <math> F = \int_a^b{f(x) dx} = (b - a)\langle f(x) \rangle </math>
 
  <math> F = \int_a^b{f(x) dx} = (b - a)\langle f(x) \rangle </math>
  
Dessa forma, utiliza-se amostragem aleatória massiva para estimar <math> \langle f(x) \rangle </math>, que é a média da função no intervalo de interesse.
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Dessa forma, utiliza-se amostragem aleatória massiva para estimar <math> \langle f(x) \rangle </math>, que é a média da função no intervalo de interesse. O estimador para a média real é a média amostral, que por ser uma medida estatística terá sempre um erro inerente associado.
  
 
=== Amostragem por importância ===
 
=== Amostragem por importância ===
  
Um problema da amostragem simples é que ela utiliza uma distribuição uniforme, que pode, para uma função que tenha regiões onde seu valor é próximo de zero por exemplo, custar a estimar corretamente o valor médio da função. A fim de driblar isso, podemos utilizar uma distribuição <math> w(x) </math> tal que a razão <math> \frac{f(x)}{w(x)} </math> seja o mais constante possível. Reescrevendo a integral:
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Um problema da amostragem simples é que ela utiliza uma distribuição uniforme, que pode, para uma função que tenha regiões onde seu valor é próximo de zero por exemplo, custar a estimar corretamente o valor médio da função. A fim de contornar isso, podemos utilizar uma distribuição <math> w(x) </math> tal que a razão <math> \frac{f(x)}{w(x)} </math> seja o mais constante possível. Reescrevendo a integral:
  
 
  <math> F = \int_a^b{\frac{f(x)}{w(x)} w(x) dx} = (b - a)\left \langle \frac{f(x)}{w(x)} \right \rangle </math>
 
  <math> F = \int_a^b{\frac{f(x)}{w(x)} w(x) dx} = (b - a)\left \langle \frac{f(x)}{w(x)} \right \rangle </math>
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Basicamente, é a média dos valores da função razão <math> \frac{f(x)}{w(x)} </math> com distribuição <math> w(x) </math> para sorteio dos pontos. Esse método diminui a variância amostral e faz com que seja muito mais eficiente a convergência do estimador média amostral para a média real da função.
 
Basicamente, é a média dos valores da função razão <math> \frac{f(x)}{w(x)} </math> com distribuição <math> w(x) </math> para sorteio dos pontos. Esse método diminui a variância amostral e faz com que seja muito mais eficiente a convergência do estimador média amostral para a média real da função.
  
=== Algorítmo de Metrópolis–Hastings ===
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=== Algoritmo de Metropolis–Hastings ===
  
Dado uma amostra com <math>N</math> partículas, a abordagem introduzida por Metrópolis e Hastings segue o seguinte esquema:
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Dado uma amostra com <math>N</math> partículas, a abordagem introduzida por Metropolis (em 1953, algoritmo para distribuições simétricas) e Hastings (em 1970, algoritmo generalizado) segue o seguinte esquema:
  
 
  (1) Selecionar uma partícula aleatóriamente, e calcular sua energia <math>U(r)</math>;
 
  (1) Selecionar uma partícula aleatóriamente, e calcular sua energia <math>U(r)</math>;
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  (3) Aceitar o movimento <math>\mathbf{r} \rightarrow \mathbf{r_n}</math> com probabilidade <math>p = min\{1; \exp[-\beta (U(r_n) - U(r))]\}</math>
 
  (3) Aceitar o movimento <math>\mathbf{r} \rightarrow \mathbf{r_n}</math> com probabilidade <math>p = min\{1; \exp[-\beta (U(r_n) - U(r))]\}</math>
  
Devido ao fato das componentes de <math>\mathbf{\Delta}</math> poderem assumir valores postivos e negativos, após ser aceito a mudança de posição de uma dada partícula, elá poderá ser selecinada (no próximo passo) com a mesma probabilidade e voltar a sua posição original. Isso garante a balanço detalhado.
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Devido ao fato das componentes de <math>\mathbf{\Delta}</math> poderem assumir valores postivos e negativos (com a nova posição limitada por alguma condição de contorno), após ser aceito a mudança de posição de uma dada partícula, elá poderá ser selecionada (no próximo passo) com a mesma probabilidade e voltar a sua posição original. Isso garante a condição de balanço detalhado. <ref> Daan Frenkel, Berend Smit, "Understanding molecular simulation: from algorithms to applications"</ref>
  
 
=== Estimadores no Equilíbrio ===
 
=== Estimadores no Equilíbrio ===
Em todos os exemplos tratados aqui, será usado o ensemble NVT (com o número de partículas, volume e temperatura constantes). Dado isso, os sistemas são caracterizados com um densidade e uma temperatura. Com tais sistema no equilíbrio, são estimadas (média de sucessivas medidas) a energia total e a pressão, dadas respectivamente por:
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Em todos os exemplos tratados aqui, será usado o ensemble NVT (com o número de partículas, volume e temperatura constantes) com <math>d</math> dimensões. Dado isso, os sistemas são caracterizados com um densidade e uma temperatura. Com tais sistemas no equilíbrio, são estimadas (média de sucessivas medidas) a energia total e a pressão, dadas respectivamente por:
 
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  <math>U_T = \sum_i \sum_{j>i}U(r_{ij}) </math>  
 
  <math>U_T = \sum_i \sum_{j>i}U(r_{ij}) </math>  
  
  <math>P = \frac{\rho}{\beta} + \frac{2}{3V}\sum_i \sum_{j>i}\mathbf{f(\mathbf{r_{ij}})} \cdot \mathbf{r_{ij}} </math>
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  <math>P = \frac{\rho}{\beta} + \frac{2\rho}{Nd}\sum_i \sum_{j>i}\mathbf{f(\mathbf{r_{ij}})} \cdot \mathbf{r_{ij}} </math>
  
 
onde <math>\mathbf{r_{ij}} = \mathbf{r_{j}} - \mathbf{r_{i}}</math>. Além disso, é interessante a análise da capacidade térmica
 
onde <math>\mathbf{r_{ij}} = \mathbf{r_{j}} - \mathbf{r_{i}}</math>. Além disso, é interessante a análise da capacidade térmica
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  <math>C_v = \frac{\langle U_T^2 \rangle - \langle U_T \rangle ^2}{k_BT^2}</math>
 
  <math>C_v = \frac{\langle U_T^2 \rangle - \langle U_T \rangle ^2}{k_BT^2}</math>
  
A ''Pair Distribution Function'', é uma função que estima o quão provável é encontrar duas partículas a uma distância <math>r</math> dentro de um sistema de várias partículas. Em um sistema de <math>N</math> partículas, o <math>g(r)</math> é definido como a média do número de partículas a uma distância <math>r</math>:
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A função radial de distribuição de pares, é uma função que estima o quão provável é encontrar duas partículas a uma distância <math>r</math> dentro de um sistema de várias partículas. Em um sistema de <math>N</math> partículas, o <math>g(r)</math> é definido como a média do número de partículas a uma distância <math>r</math>:
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<math> g(r)=\frac{1}{N\rho}\langle\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\delta(r-|r_i-r_j|)  \rangle</math>
  
<math> g(r)=\frac{V}{N^2}\langle\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i}^N\delta(r-|r_i-r_j|)  \rangle</math>
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A distribuição de densidades é calculada dividindo espacialmente o sistema, no nosso caso de lado <math> L </math>, em <math> M </math> células de lado <math> \frac{L}{M} </math> e acumular em um histograma as densidades das células. Essa medida é relevante para identificação de fases no sistema.
  
 
== Detalhes Técnicos==
 
== Detalhes Técnicos==
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=== Condições de Contorno ===
 
=== Condições de Contorno ===
  
Qualquer sistema possível de ser feito hoje com método Monte Carlo, apesar do grande poder computacional disponível, fica distante do limite termodinâmico. As condições de contorno podem ser estabelecidas de forma a tentar driblar isso. As condições utilizadas neste trabalho foram condições de contorno periódicas, que possibilitam que o sistema se comporte como se fosse muito maior do que é, desde que ele seja isotrópico.
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Qualquer sistema possível de ser feito hoje com método Monte Carlo, apesar do grande poder computacional disponível, fica distante do limite termodinâmico. As condições de contorno podem ser estabelecidas de forma a tentar contornar isso. As condições utilizadas neste trabalho foram condições de contorno periódicas, que possibilitam que o sistema se comporte como se fosse muito maior do que é, desde que ele seja isotrópico.
  
 
=== Convenção da imagem mínima ===
 
=== Convenção da imagem mínima ===
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   <math> z_n = z + \Delta (\alpha - 0.5)</math>  
 
   <math> z_n = z + \Delta (\alpha - 0.5)</math>  
  
sendo <math>\alpha</math> números aleatórios uniformemente distribuídos e <math> \Delta </math> o deslocamento máximo permitido. Se a nova posição for aceita seguindo o algorítmo de Metrópolis, a partícula assumirá essa posição.  
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sendo <math>\alpha</math> números aleatórios uniformemente distribuídos e <math> \Delta </math> o deslocamento máximo permitido. Se a nova posição for aceita seguindo o algorítmo de Metropolis, a partícula assumirá essa posição. Caso contrário, a antiga configuração contribuirá novamente na média.  <ref> David P. Landau, Kurt Binder, "A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics"</ref>
  
 
O tamanho de <math> \Delta </math> não pode ser grande ao ponto de nunca ser aceito nem pequeno ao ponto de sempre ser aceito. Dado isso, buscando uma taxa de aceitação <math> \eta </math> entre <math> 30 \%</math> e <math> 50 \% </math>, define-se um <math> \Delta_0 </math> inicial que vai se ajustando no decorrer da simulação, executando - a cada passo Monte Carlo (<math>N</math> passos de simulação) - o seguinte algorítimo:
 
O tamanho de <math> \Delta </math> não pode ser grande ao ponto de nunca ser aceito nem pequeno ao ponto de sempre ser aceito. Dado isso, buscando uma taxa de aceitação <math> \eta </math> entre <math> 30 \%</math> e <math> 50 \% </math>, define-se um <math> \Delta_0 </math> inicial que vai se ajustando no decorrer da simulação, executando - a cada passo Monte Carlo (<math>N</math> passos de simulação) - o seguinte algorítimo:
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   Se (<math> \eta < 0.3 </math>): <math> \Delta \leftarrow \Delta \times (\eta / 0.3)</math>   
 
   Se (<math> \eta < 0.3 </math>): <math> \Delta \leftarrow \Delta \times (\eta / 0.3)</math>   
 
   Se (<math> \eta > 0.5 </math>): <math> \Delta \leftarrow \Delta \times (\eta / 0.5)</math>
 
   Se (<math> \eta > 0.5 </math>): <math> \Delta \leftarrow \Delta \times (\eta / 0.5)</math>
 
  
 
== Sistema bidimensional ==
 
== Sistema bidimensional ==
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  (D) Distância de corte <math>r_c = 2.5 \sigma</math>
 
  (D) Distância de corte <math>r_c = 2.5 \sigma</math>
 
  (E) Deslocamento máximo inicial <math>\Delta_0 = L/2 </math>
 
  (E) Deslocamento máximo inicial <math>\Delta_0 = L/2 </math>
=== Ponto crítico da transição de fase líquido-gás ===
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=== Transição de fase líquido-gás ===
A partir do artigo de M Rovere et al <ref> M Rovere et al (1990) "The gas-liquid transition of the two-dimensional Lennard-Jones fluid".  J. Phys.: Condens. Matter 2 7009 </ref>, que modelou o sistema apresentado, obtemos a informação da temperatura e da densidade críticas. Os valores encontrados pelos autores do artigo são <math> T = 0.5</math> e <math> \langle \rho \rangle = 0.3 </math>, que determinam qual intervalo de valores de temperatura e densidade apresentam coexistência de fases distintas.
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A partir do artigo de M Rovere et al <ref> M Rovere et al (1990) "The gas-liquid transition of the two-dimensional Lennard-Jones fluid".  J. Phys.: Condens. Matter 2 7009 </ref>, que modelou o sistema apresentado, obtemos a informação da temperatura e da densidade críticas. Os valores encontrados pelos autores do artigo são <math> T = 0.5</math> e <math> \rho = 0.3 </math>, que determinam qual intervalo de valores de temperatura e densidade apresentam coexistência de fases distintas.
  
 
=== Transição de fase com densidade fixa ===
 
=== Transição de fase com densidade fixa ===
  
Dada a densidade fixa <math> \rho = 0.3 </math>, é observado o sistema para as diferentes temperaturas <math> T \in \{0.45, 0.50, 0.70\}</math>.
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Fixada a densidade <math> \rho = 0.3 </math>, foram realizadas simulações para as diferentes temperaturas <math> T \in \{0.45, 0.50, 0.70\}</math>.
  
Evolução temporal da Energia Total e da Pressão:
+
Evolução temporal da Energia Total:
  
[EVOLUÇÃO TEMPORAL DA ENERGIA] [EVOLUÇÃO TEMPORAL DA PRESSÃO]
+
[[Arquivo:time_evolution_U_d_03.png|500px|center]]
  
Observa-se que o sistema se encontra em equilíbrio a <math>10^5</math> passos  Monte Carlo. Isso é corroborado pelos resultados do artigo de M Rovere et al. A partir do sistema equilibrado, são analisadas a distribuição de densidade e a função distribuição de pares (<math>g(\vec{r})</math>) para verificar a presença de uma (liquida) ou duas fases (líquida, gasosa), usando uma média de <math>10^5</math> medidas sucessivas.
+
Observa-se que o sistema se encontra em equilíbrio a <math>10^5</math> passos  Monte Carlo. Isso é corroborado pelos resultados do artigo de M Rovere et al. A partir do sistema equilibrado, são analisadas a distribuição de densidade e a função distribuição de pares para verificar a presença de uma (líquida) ou duas fases (líquida, gasosa), usando uma média de <math>10^5</math> medidas sucessivas.
  
Para <math> T = 0.45</math> temos  que:
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Para <math> T = 0.70</math> temos  que:
  
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Nesse caso observa-se a coexistência de fases. Apesar disso, densidade zero não corresponde a um sistema real, o que decorre do tamanho pequeno do sistema.
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Nesse caso observa-se apenas uma fase, com a densidade média sendo a densidade global do sistema, que é diferente do centro do pico (<math> \rho \approx 1.0 </math>). Isso caracteriza a fase gasosa, que ocupa todo o espaço disponível. A função distribuição de pares rapidamente converge para 1 com pequenas oscilações, caracterizando um gás de alta densidade.
  
 
Para <math> T = 0.50</math> temos  que:
 
Para <math> T = 0.50</math> temos  que:
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Nesse caso também observa-se a coexistência de fases. Além disso, é obervado a densidade caracterítica de cada fase.
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Nesse caso observa-se a coexistência das fases gasosa e líquida. Além disso, pode-se observar a densidade característica aproximada de cada fase a essa temperatura centrada nos respectivos picos (<math> \rho_g \approx 0.2 </math> e <math> \rho_l \approx 2.0 </math>). A função distribuição de pares representa a de uma fase líquida.
  
Para <math> T = 0.70</math> temos  que:
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Para <math> T = 0.45</math> temos  que:
  
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Nesse caso observa-se apenas uma fase, com a densidade média sendo a densidade global do sistema
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Nesse gráfico a primeira impressão é de coexistência de fases. Apesar disso, densidade zero não corresponde a uma fase real, e sim aos espaços vazios. Dessa forma, a fase aqui é a líquida. O ''snapshot'' permite visualizar isso, já que há aglomerados de densidade aparentemente constante separados por espaços praticamente sem partículas. A densidade da fase líquida a essa temperatura é aproximadamente o centro do pico da direita (<math> \rho \approx 2.3 </math>).
  
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Para <math> T = 0.30</math> temos  que:
  
De maneira geral, é possivel ver a região onde ocorre a transição de fase bem como observar as duas fases coexistindo,por meio da distribuição de probabilidades, como cada estado tem uma densidade média característica a dada temperatura.
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Assim como no gráfico anterior, há dois picos mas apenas um representa uma fase. A principal diferença é que o pico em zero é bem maior e mais agudo que no caso <math> T = 0.45</math>, o que ilustra que há mais espaço vazio. A densidade do líquido aqui é <math> \rho \approx 2.8 </math>. Nota-se que o sistema parece estar se organizando numa fase hexagonal, apesar de ainda ser amorfa, e a densidade já é bem mais alta. A distribuição de pares tem mínimos bem menores do que para os parâmetros acima tratados, caracterizando um sistema que parece estar próximo da transição para a fase hexagonal de baixa energia.
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De maneira geral, é possível estimar o intervalo de parâmetros para o qual ocorre a transição de fase líquido-gás. É possível, também, visualizar, a partir da distribuição de densidades, a coexistência de fases, já que cada estado tem uma densidade média característica a dada temperatura.
  
 
=== Transição de fase com temperatura fixa ===
 
=== Transição de fase com temperatura fixa ===
Linha 174: Linha 183:
 
Dado a temperatura fixa <math> T = 0.45 </math>, é observado o sistema para as diferentes densidades <math> \rho \in \{0.10, 0.30, 0.40\}</math>.
 
Dado a temperatura fixa <math> T = 0.45 </math>, é observado o sistema para as diferentes densidades <math> \rho \in \{0.10, 0.30, 0.40\}</math>.
  
voluçao temporal da Energia Totoal e da Pressão:
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Evolução temporal da Energia Total:
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[[Arquivo:time_evolution_U_T_45.png|500px|center]]
  
[EVOLUÇÃO TEMPORAL DA ENERGIA] [EVOLUÇÃO TEMPORAL DA PRESSÃO]
 
  
É observado que o sistema equilibra <math>10^5</math> passos  Monte Carlo. Dado esse sistema equilibrado, é analisado a distribuição de densidade e a Pair distribuion function para analisar a presença de uma (liquida) ou duas fases (líquiga, gasoso), usando uma média de <math>10^5</math> sucessivas medidas.
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Observa-se que o sistema se encontra em equilíbrio a <math>10^5</math> passos  Monte Carlo. Isso é corroborado pelos resultados do artigo de M Rovere et al. A partir do sistema equilibrado, são analisadas a distribuição de densidade e a função distribuição de pares para verificar a presença de uma (líquida) ou duas fases (líquida, gasosa), usando uma média de <math>10^5</math> medidas sucessivas.
  
 
Para <math> \rho = 0.10</math> temos  que:
 
Para <math> \rho = 0.10</math> temos  que:
  
 
[[Arquivo: snapshot_t45_d_10.png|300px]] [[Arquivo: P_t45_d_10.png|300px]] [[Arquivo: g_t45_d_10.png|300px]]  
 
[[Arquivo: snapshot_t45_d_10.png|300px]] [[Arquivo: P_t45_d_10.png|300px]] [[Arquivo: g_t45_d_10.png|300px]]  
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Observa-se no ''snapshot'' que o sistema parece ter fase líquida e fase gasosa coexistindo. O resultado da distribuição de densidades pode ter sido afetado pelo aumento da área (consequentemente  também das células usadas para realização do histograma) já que o sistema ficou maior a fim de diminuir a densidade mantendo o número de partículas. Apesar disso, o resultado da função distribuição de pares parece razoável com a hipótese da fase líquida estar presente.
  
 
Para <math> \rho = 0.30</math> temos  que:
 
Para <math> \rho = 0.30</math> temos  que:
  
 
[[Arquivo: snapshot_t45_d_03.png|300px]] [[Arquivo: P_t45_d_03.png|300px]] [[Arquivo: g_t45_d_03.png|300px]]  
 
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Esse gráfico foi tratado anteriormente (para temperatura fixa) e está reproduzido novamente a fim de comparação.
  
 
Para <math> \rho = 0.40</math> temos  que:
 
Para <math> \rho = 0.40</math> temos  que:
Linha 192: Linha 207:
 
[[Arquivo: snapshot_t45_d_40.png|300px]] [[Arquivo: P_t45_d_40.png|300px]] [[Arquivo: g_t45_d_40.png|300px]]
 
[[Arquivo: snapshot_t45_d_40.png|300px]] [[Arquivo: P_t45_d_40.png|300px]] [[Arquivo: g_t45_d_40.png|300px]]
  
== Diagramas de fase ==
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Nesse sistema há a presença de fase líquida com menos espaços vazios. O pico de densidade da fase líquida situa-se em <math> \rho \approx 1.5 </math>. Essa queda da densidade do líquido com aumento da densidade do sistema indica que uma transição de fase para gás pode estar próxima para esses parâmetros.
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Para <math> \rho = 0.70</math> temos  que:
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[[Arquivo: snapshot_t45_d_70.png|300px]] [[Arquivo: P_t45_d_70.png|300px]] [[Arquivo: g_t45_d_70.png|300px]]
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Observa-se que o sistema tem relativa homogeneidade e ocupa toda a área. Isso se caracteriza como um gás, como pode ser verificado na distribuição de densidade, que tem apenas um pico em  <math> \rho \approx 1.0 </math> (que não é a média global). Apesar disso, o sistema parece relativamente organizado, o que sugere uma possível transição de fase. Também sugere isso a distribuição de pares, que tem mínimos baixos que remetem à fase sólida.
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== Sistema tridimensional ==
  
 
Dado um sistema tridimensional com densidade <math> \rho = N / L^3</math> e temperatura <math>T</math>, os diagramas foram feitos com:
 
Dado um sistema tridimensional com densidade <math> \rho = N / L^3</math> e temperatura <math>T</math>, os diagramas foram feitos com:
Linha 208: Linha 231:
 
=== T = 2.0 (acima do valor crítico)===
 
=== T = 2.0 (acima do valor crítico)===
  
Para  <math>r_c  = 2.5\sigma</math>, temos a evolução temporal da energia total e da pressão:
+
Tendo em vista que a análise no equilíbrio do sistema bidimensional foi feita após <math> 10^5 </math> passos Monte Carlo, é bastante possível que os sistemas tridimensionais aqui tratados não tenham alcançado o equilíbrio. Para  <math>r_c  = 2.5\sigma</math>, temos a evolução temporal da energia total e da pressão:
  
 
[[Arquivo: t_t20_r25_U.png|500px]] [[Arquivo: t_t20_r25_P.png|500px]]
 
[[Arquivo: t_t20_r25_U.png|500px]] [[Arquivo: t_t20_r25_P.png|500px]]
  
Estimando seus valores a partir do equilíbrio, determina-se s diagrama de fase:
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Estimando seus valores a partir do equilíbrio, determina-se o diagrama de fase:
  
[[Arquivo:t20_r25_Pd.png|500px]]  
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[[Arquivo:t20_r25_Pd.png|500px|center]]  
  
 
Além disso, tem-se as diferentes configurações espaciais para as densidades <math>\rho = 0.2</math> e <math>\rho = 0.6</math>, respectivamente:
 
Além disso, tem-se as diferentes configurações espaciais para as densidades <math>\rho = 0.2</math> e <math>\rho = 0.6</math>, respectivamente:
Linha 222: Linha 245:
 
Executando o mesmo esquema, o diagrama é comparado para diferentes valores de  <math>r_c</math>:
 
Executando o mesmo esquema, o diagrama é comparado para diferentes valores de  <math>r_c</math>:
  
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Nessa situação (acima do valor crítico de temperatura), o gráfico pressão - densidade mostra sua injetividade, e portanto, a não coexistência de fases (como esperado).
 
Nessa situação (acima do valor crítico de temperatura), o gráfico pressão - densidade mostra sua injetividade, e portanto, a não coexistência de fases (como esperado).
 
=== T = 0.9 (abaixo do valor crítico)===
 
 
Para  <math>r_c  = 2.5\sigma</math>, temos a evolução temporal da energia total e da pressão:
 
 
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Estimando seus valores a partir do equilíbrio, determina-se os diagramas de  fase:
 
 
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Além disso, tem-se as diferentes configurações espaciais para as densidades <math>\rho = 0.2</math> e <math>\rho = 0.6</math>, respectivamente:
 
 
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Executando o mesmo esquema, são comparados os diagramas para diferentes valores de  <math>r_c</math>:
 
 
[[Arquivo:t09_Pd.png|500px]] [[Arquivo:t09_Cd.png|500px]]
 
 
 
Nessa situação (abaixo do valor crítico de temperatura), o gráfico pressão - densidade (esquerda) mostra sua não-injetividade, e por tanto, a coexistência de fases líquido-vapor, apresentando metaestabilidade com pressões negativas na região. Esse efeito é devido ao tamanho pequeno da amostra, que tem um alto custo de energia livre para a criação de uma interface de vapor de líquido, por isso se torna pouco aconselhavel utilisar o ensemble NVT para diagramas de coexistência de fases. Em se tratando da capcidade térmica, o ensemple NVT também se mostra pouco efetivo, já que pequenas mudanças no <math>r_c</math> mostram extremas mudanças no comportamento do diagrama.
 
  
 
==Referências==
 
==Referências==
 
<references />
 
<references />

Edição atual tal como às 07h48min de 23 de janeiro de 2018

Alunos: Ben-Hur Cardoso e Vinícius Garcia


O potencial devido a interação entre duas partículas separadas por uma distância pode ser modelado pelo potencial de Lennard-Jones [1]:


Posto em unidades reduzidas ( e ), o potencial reduz-se a:


LennardJones.png

As quantidades físicas de interesse (como pressão, tempo e temperatura) possuem ordens de grandeza muito diferentes entre si quando se usa unidades do Sistema Internacional, o que faz com que fique difícil de identificar erros. Por causa disso, é computacionalmente viável trabalhar com o seguintes sistema de unidades básicas, que mantém os valores em baixas ordens de grandeza:

Grandeza Comprimento Tempo Massa Temperatura Energia Pressão Densidade
Unidade

onde é a massa da partícula e é a constante de Boltzmann.

Note que as novas unidades são adimensionais. Assim, para comparar o modelo com um sistema físico real, deve-se converter para as unidades desejadas. É interessante notar que a simulação feita utilizando as unidades reduzidas permite visualizar que sistemas distintos serão equivalentes, já que há infinitas combinações de densidade, temperatura, e com mesmas unidades reduzidas.

Método Monte Carlo

Denomina-se método de Monte Carlo métodos estatísticos que se baseiam em amostragem aleatória massiva para cálculo numérico.

Amostragem simples

O cálculo numérico de uma integral utilizando Monte Carlo parte da ideia de que uma integral pode ser reescrita como:


Dessa forma, utiliza-se amostragem aleatória massiva para estimar , que é a média da função no intervalo de interesse. O estimador para a média real é a média amostral, que por ser uma medida estatística terá sempre um erro inerente associado.

Amostragem por importância

Um problema da amostragem simples é que ela utiliza uma distribuição uniforme, que pode, para uma função que tenha regiões onde seu valor é próximo de zero por exemplo, custar a estimar corretamente o valor médio da função. A fim de contornar isso, podemos utilizar uma distribuição tal que a razão seja o mais constante possível. Reescrevendo a integral:



Basicamente, é a média dos valores da função razão com distribuição para sorteio dos pontos. Esse método diminui a variância amostral e faz com que seja muito mais eficiente a convergência do estimador média amostral para a média real da função.

Algoritmo de Metropolis–Hastings

Dado uma amostra com partículas, a abordagem introduzida por Metropolis (em 1953, algoritmo para distribuições simétricas) e Hastings (em 1970, algoritmo generalizado) segue o seguinte esquema:

(1) Selecionar uma partícula aleatóriamente, e calcular sua energia ;
(2) Dado o deslocamento , calcular ;
(3) Aceitar o movimento  com probabilidade 

Devido ao fato das componentes de poderem assumir valores postivos e negativos (com a nova posição limitada por alguma condição de contorno), após ser aceito a mudança de posição de uma dada partícula, elá poderá ser selecionada (no próximo passo) com a mesma probabilidade e voltar a sua posição original. Isso garante a condição de balanço detalhado. [2]

Estimadores no Equilíbrio

Em todos os exemplos tratados aqui, será usado o ensemble NVT (com o número de partículas, volume e temperatura constantes) com dimensões. Dado isso, os sistemas são caracterizados com um densidade e uma temperatura. Com tais sistemas no equilíbrio, são estimadas (média de sucessivas medidas) a energia total e a pressão, dadas respectivamente por:

 

onde . Além disso, é interessante a análise da capacidade térmica


A função radial de distribuição de pares, é uma função que estima o quão provável é encontrar duas partículas a uma distância dentro de um sistema de várias partículas. Em um sistema de partículas, o é definido como a média do número de partículas a uma distância :


A distribuição de densidades é calculada dividindo espacialmente o sistema, no nosso caso de lado , em células de lado e acumular em um histograma as densidades das células. Essa medida é relevante para identificação de fases no sistema.

Detalhes Técnicos

Condições de Contorno

Qualquer sistema possível de ser feito hoje com método Monte Carlo, apesar do grande poder computacional disponível, fica distante do limite termodinâmico. As condições de contorno podem ser estabelecidas de forma a tentar contornar isso. As condições utilizadas neste trabalho foram condições de contorno periódicas, que possibilitam que o sistema se comporte como se fosse muito maior do que é, desde que ele seja isotrópico.

Convenção da imagem mínima

Construindo um sistema cúbico de lado L, com um número N de partículas fixo, as condições de contorno periódicas fazem com a simulação não se limite ao cubo. Ao calcular a interação entre duas partículas, portanto, a distância entre elas não é unívoca, já que há incontáveis cópias de cada uma, repetindo-se periodicamente. Resolve-se esse problema utilizando-se da convenção da imagem mínima, em que é calculada a interação com a imagem mais próxima das outras.

Truncamento nas interações

Um problema da condição de contorno periódica é que, a princípio, cada partícula interagiria com todas as outras do sistema, que devido ao fato de ser periodicamente repetido, seriam infinitas. Como o potencial utilizado é de curto alcance, deve ser possível, de alguma forma, limitar as interações entre as partículas sem perda dos significados numéricos da simulação. Pode-se, então, truncar as interações de uma partícula a partir de uma distância de corte de forma que há uma descontinuidade no potencial dessa partícula na esfera de raio .


Mic.png


Assim o potencial simulado é:


Esse é o chamado truncamento simples. O subíndice LJ se refere ao potencial de Lennard-Jones. O problema é que isso cria uma contribuição indesejada à pressão, já que há uma força de impulso por conta dessa descontinuidade do potencial.

Pode-se, então, usar o truncamento com deslocamento, que evita essa descontinuidade fazendo uma subtração em todo ponto do módulo do potencial de Lennard-Jones à distância . Assim, o potencial simulado é:


Com esse potencial, que é contínuo, as forças serão sempre finitas, o que retira a força de impulso que alteraria medidas de pressão.

Translação

A possível nova posição de uma partícula será tal que

  
  
  

sendo números aleatórios uniformemente distribuídos e o deslocamento máximo permitido. Se a nova posição for aceita seguindo o algorítmo de Metropolis, a partícula assumirá essa posição. Caso contrário, a antiga configuração contribuirá novamente na média. [3]

O tamanho de não pode ser grande ao ponto de nunca ser aceito nem pequeno ao ponto de sempre ser aceito. Dado isso, buscando uma taxa de aceitação entre e , define-se um inicial que vai se ajustando no decorrer da simulação, executando - a cada passo Monte Carlo ( passos de simulação) - o seguinte algorítimo:

 Se ():   
 Se (): 

Sistema bidimensional

Dado um sistema com densidade e temperatura , os sistemas foram feitos com:

(A)  partículas
(B) Quadrado de lado , utilizando a convenção da imagem mínima
(C) Incialização aleatória
(D) Distância de corte 
(E) Deslocamento máximo inicial 

Transição de fase líquido-gás

A partir do artigo de M Rovere et al [4], que modelou o sistema apresentado, obtemos a informação da temperatura e da densidade críticas. Os valores encontrados pelos autores do artigo são e , que determinam qual intervalo de valores de temperatura e densidade apresentam coexistência de fases distintas.

Transição de fase com densidade fixa

Fixada a densidade , foram realizadas simulações para as diferentes temperaturas .

Evolução temporal da Energia Total:

Time evolution U d 03.png

Observa-se que o sistema se encontra em equilíbrio a passos Monte Carlo. Isso é corroborado pelos resultados do artigo de M Rovere et al. A partir do sistema equilibrado, são analisadas a distribuição de densidade e a função distribuição de pares para verificar a presença de uma (líquida) ou duas fases (líquida, gasosa), usando uma média de medidas sucessivas.

Para temos que:

Snapshot t70 d 03.png P t70 d 03.png G t70 d 03.png

Nesse caso observa-se apenas uma fase, com a densidade média sendo a densidade global do sistema, que é diferente do centro do pico (). Isso caracteriza a fase gasosa, que ocupa todo o espaço disponível. A função distribuição de pares rapidamente converge para 1 com pequenas oscilações, caracterizando um gás de alta densidade.

Para temos que:

Snapshot t50 d 03.png P t50 d 03.png G t50 d 03.png

Nesse caso observa-se a coexistência das fases gasosa e líquida. Além disso, pode-se observar a densidade característica aproximada de cada fase a essa temperatura centrada nos respectivos picos ( e ). A função distribuição de pares representa a de uma fase líquida.

Para temos que:

Snapshot t45 d 03.png P t45 d 03.png G t45 d 03.png

Nesse gráfico a primeira impressão é de coexistência de fases. Apesar disso, densidade zero não corresponde a uma fase real, e sim aos espaços vazios. Dessa forma, a fase aqui é a líquida. O snapshot permite visualizar isso, já que há aglomerados de densidade aparentemente constante separados por espaços praticamente sem partículas. A densidade da fase líquida a essa temperatura é aproximadamente o centro do pico da direita ().

Para temos que:

Snapshot t30 d 03.png P t30 d 03.png G t30 d 03.png

Assim como no gráfico anterior, há dois picos mas apenas um representa uma fase. A principal diferença é que o pico em zero é bem maior e mais agudo que no caso , o que ilustra que há mais espaço vazio. A densidade do líquido aqui é . Nota-se que o sistema parece estar se organizando numa fase hexagonal, apesar de ainda ser amorfa, e a densidade já é bem mais alta. A distribuição de pares tem mínimos bem menores do que para os parâmetros acima tratados, caracterizando um sistema que parece estar próximo da transição para a fase hexagonal de baixa energia.

De maneira geral, é possível estimar o intervalo de parâmetros para o qual ocorre a transição de fase líquido-gás. É possível, também, visualizar, a partir da distribuição de densidades, a coexistência de fases, já que cada estado tem uma densidade média característica a dada temperatura.

Transição de fase com temperatura fixa

Dado a temperatura fixa , é observado o sistema para as diferentes densidades .

Evolução temporal da Energia Total:


Time evolution U T 45.png


Observa-se que o sistema se encontra em equilíbrio a passos Monte Carlo. Isso é corroborado pelos resultados do artigo de M Rovere et al. A partir do sistema equilibrado, são analisadas a distribuição de densidade e a função distribuição de pares para verificar a presença de uma (líquida) ou duas fases (líquida, gasosa), usando uma média de medidas sucessivas.

Para temos que:

Snapshot t45 d 10.png P t45 d 10.png G t45 d 10.png

Observa-se no snapshot que o sistema parece ter fase líquida e fase gasosa coexistindo. O resultado da distribuição de densidades pode ter sido afetado pelo aumento da área (consequentemente também das células usadas para realização do histograma) já que o sistema ficou maior a fim de diminuir a densidade mantendo o número de partículas. Apesar disso, o resultado da função distribuição de pares parece razoável com a hipótese da fase líquida estar presente.

Para temos que:

Snapshot t45 d 03.png P t45 d 03.png G t45 d 03.png

Esse gráfico foi tratado anteriormente (para temperatura fixa) e está reproduzido novamente a fim de comparação.

Para temos que:

Snapshot t45 d 40.png P t45 d 40.png G t45 d 40.png

Nesse sistema há a presença de fase líquida com menos espaços vazios. O pico de densidade da fase líquida situa-se em . Essa queda da densidade do líquido com aumento da densidade do sistema indica que uma transição de fase para gás pode estar próxima para esses parâmetros.

Para temos que:

Snapshot t45 d 70.png P t45 d 70.png G t45 d 70.png

Observa-se que o sistema tem relativa homogeneidade e ocupa toda a área. Isso se caracteriza como um gás, como pode ser verificado na distribuição de densidade, que tem apenas um pico em (que não é a média global). Apesar disso, o sistema parece relativamente organizado, o que sugere uma possível transição de fase. Também sugere isso a distribuição de pares, que tem mínimos baixos que remetem à fase sólida.

Sistema tridimensional

Dado um sistema tridimensional com densidade e temperatura , os diagramas foram feitos com:

(A)  partículas
(B) Cubo de lado  com convenção da imagem mínima
(C) Incialização aleatória
(D) Distância de corte 
(E) Deslocamento máximo inicial 

Transição de fase líquido-gás

Conforme o trabalho desenvolvido por Nicholas et al [5], os valores críticos na transição de fase líquido-gás para um fluido de Lennard-Jones tridimensional são e .

T = 2.0 (acima do valor crítico)

Tendo em vista que a análise no equilíbrio do sistema bidimensional foi feita após passos Monte Carlo, é bastante possível que os sistemas tridimensionais aqui tratados não tenham alcançado o equilíbrio. Para , temos a evolução temporal da energia total e da pressão:

T t20 r25 U.png T t20 r25 P.png

Estimando seus valores a partir do equilíbrio, determina-se o diagrama de fase:

T20 r25 Pd.png

Além disso, tem-se as diferentes configurações espaciais para as densidades e , respectivamente:

G t20 d02 r25.png G t20 d06 r25.png

Executando o mesmo esquema, o diagrama é comparado para diferentes valores de :

T20 Pd.png

Nessa situação (acima do valor crítico de temperatura), o gráfico pressão - densidade mostra sua injetividade, e portanto, a não coexistência de fases (como esperado).

Referências

  1. Lennard-Jones, J. E. (1924), "On the Determination of Molecular Fields", Proc. R. Soc. Lond. A, 106 (738): 463–477
  2. Daan Frenkel, Berend Smit, "Understanding molecular simulation: from algorithms to applications"
  3. David P. Landau, Kurt Binder, "A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics"
  4. M Rovere et al (1990) "The gas-liquid transition of the two-dimensional Lennard-Jones fluid". J. Phys.: Condens. Matter 2 7009
  5. J.J. Nicolas, K.E. Gubbins, W.B. Streett, and D.J. Tildesley (1979). "Equation of state for the Lennard-Jones fluid". Mol. Phys., 37