Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem
Índice
Introdução
O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de Ising sujeito CPO a grandeza análoga à magnetização se manteria constante a cada passo da simulação.
Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.
O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede. Pode-se refinar o modelo de diversas formas:
- Conferindo inércia às partículas
- Alterando a forma da rede (quadrada, hexagonal, fcc, bcc, cúbica)
- Incluindo partículas de tipos diferentes com interações comum a seu respectivo tipo
- Presença e/ou tipos de colisões
No entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces.
Teoria
No modelo simplificado do gás de rede as partículas (sem inércia), movem-se de forma aleatória sob excitação térmica e satisfazem as seguintes condições:
- O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação.
- Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli.
- Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração
que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real.
As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces.
A cada ponto da rede associamos o valor se houver uma partícula nesse ponto ou
caso contrário. Representamos essa variável por
, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável
pode assumir apenas os valores
ou
, ou resumidamente:
A conservação do número de partículas exige que se tenha:

Onde é a densidade de partículas e
é o número total de partículas, sendo, portanto,
o número de pontos ocupados da rede.
O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade :

Onde denota soma sobre todos os pares de primeiros vizinhos da rede.
Equivalência ao modelo de Ising
Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável:

Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores:
-
quando
, ou seja, posição ocupada por partícula; ou
-
quando
, ou seja, posição não ocupada
Em termos da variável de spin é dada por:

Substituindo no Hamiltoniano tem-se:


Seja o número de coordenação da rede, ou seja, o número de primeiros vizinhos (
para rede quadrada e
para rede cúbica simples). Para uma dada rede existem
possíveis pares distintos
Pode-se simplificar esssa expressão com base nas seguintes observações:
- Os somatórios em
e
são idênticos exceto pelo índice.
- A soma
sobre pares de vizinhos é equivalente a somar
vezes sobre o número de pontos da rede:

-
pode ser escrito em termos das constantes
e
assim como ocorre com





Dessa forma o Hamiltoniano se reduz a:




Seja J = e observando que
é uma constante pois todos seus termos são constantes, chegamos na equivalência com o Hamiltoniano do modelo de Ising na ausência de campo magnético:

O valor esperado de qualquer quantidade física
não é alterado pela adição de uma constante ao hamiltoniano:
Conservação do parâmetro de ordem
A magnetização do sistema é nada mais do que a soma de spins que já calculamos acima:

No entanto, e
devem permanecer constantes durante toda a simução, isso implica que a magnetização também é sempre constante, ou seja, a magneticação é o parâmetro de ordem conservado nesse sistema fato que dá nome ao método.
É vantajoso tratar o modelo de gás de rede sob a perspectiva de um modelo de Ising pois todo o arcabouço de técnicas amplamente conhecidas e extensivamente estudadas para o modelo de Ising podem ser aplicadas.
Apesar das similaridades, o gás de rede, como definido, possui muito menos estados válidos pois não é permitido alterar a magnetização do sistema enquanto no modelo de Ising qualquer spin individual pode ser invertido sem restrições pois a magnetização não precisa se manter constante.
Transição de fase
Aproveitando a equivalência estabelecida entre gás de rede e o modelo de Ising sabe-se que o sistema possui uma transição de fase que ocorre a uma temperatura crítica . Rearranjando a densidade de pontos (equivalente agora a spins up) tem-se:


No modelo de Ising sabe-se também que abaixo da temperatura crítica existem dois valores de equilíbrio para a magnetização que são e
, portanto, para favorecer a coexistência de fases tem-se que:

Para valores de fora do intervalo
ainda é possível que uma região do sistema favoreça uma das duas densidades preferenciais. Suponha que se tenha
. Nesse caso o sistema possui menos partículas do que precisa pra atingir o a densidade
. Ainda que localmente seja possível o sistema atingir a densidade
isso leva a uma falta ainda maior de partículas em outras regiões do sistema sendo, portanto, energeticamente custoso. A opção energeticamente mais favorável adotada pelo sistema é distribuir as poucas partículas homegeneamente pela rede. Esse comportamento é observado na simulação.
Dessa forma, no caso de o sistema possui duas fases:
- Uma em que
se dividindo em dois domínios cada qual favorecendo uma das duas densidades
- E outra em que
tendo densidade homogênea
Com sujeito ao intervalo
conclui-se que
pode assumir um intervalo menor de valores a medida que
diminui. A magnetização diminui sob o aumento da temperatura. Acima da temperatura crítica a
e portanto o intervalo
reduz-se a zero evidenciando que não existe mais um valor de
que evite a homogeinização da rede.
A discussão acima pode ser apresentada resumidamente pelo diagrama de fases:
Esse comportamento é observado quando se diminui a temperatura de vapor d'agua que passa a formar gotas líquidas que coexistem com o vapor para um intervalo de temperaturas. A fase condensada do gás de rede, no entanto, é mais adequadamente interpretada como um sólido devido a posição fixa das partículas (análogas a moléculas ou átomos) na rede, dessa forma, falamos de interface vapor/sólido ao invés de vapor/líquido.
Implementação
Sistemas físicos em equilíbrio com muitos graus de liberdade e no limite termodinâmico comportam-se de tal forma que ao flutuarem de um estado para um estado
tem-se que
difere pouco de
. Outra maneira de dizer isso é que as flutuações dessa tipo de sistema físico são muito pequenas em relação ao número de configurações possíveis e que portanto o sistema passa a maior parte do tempo alternando entre um pequeno conjunto de configurações. A consequência disso é que pode-se escolher uma estratégia de visitar com maior probabilidade apenas a fração de estados do sistema, as quais mais contribuem para atingir o equilíbrio ao invés de se visitar todos os estados indistintamente. No modelo de ferromagneto, por exemplo, com uma rede
, há
configurações possíveis sendo que mesmo com um supercomputador seria impraticável realizar essa simulação. O método de Monte Carlo consiste em visitar eficientemente uma pequena fração desses estados e atingir rapidamente o equilíbrio em poucos passos e o peso que define como visitar o estado seguinte é dado pela distribuição de Boltzmann
onde fica claro que quanto mais diferente
for de
menor a change de fazer a transição
Dessa forma impõe-se que no equilíbrio o sistema obedeça a distribuição de Boltzmann, portanto a condição de balanço detalhado dá liberdade na escolha de e
desde que seja satisfeita:

Uma possível escolha para seria:

Como é cancelada na razão entre probabilidades de aceitação temos a liberdade na sua escolha desde que mantenha a probabilidade menor ou igual a um. No modelo de Ising, por exemplo, a maior diferença de energia que se pode obter entre estados é
o que significa que o maior valor de
é justamente
. Assim, para garantir que a probabilidade seja menor ou igual a 1 deve-se escolher
Para que o algoritmo seja eficiente deseja-se que a probabilidade de aceitação seja a maior possível, pois do contrário estaríamos utilizando tempo computacional apenas para rejeitar trocas de estado. Portanto queremos que assuma o maior valor possível
, maximizando
:

Devido a condição de balanço detalhado, essa escolha implica:

Metropolis percebeu que desde que a condição de balanço detalhado seja satisfeita tem-se liberdade na escolha das probabilidades de aceitação. Então ele decidiu atribuir o maior valor possível para a probabilidade de aceitação que tem o maior valor entre as duas, no caso , ou seja:

O que implica:

Dessa forma a transição de estados sempre ocorre se ou seja
mas pode ou não ocorrer caso seja
com uma probabilidade dada por
. Em suma:
Gás de rede
Para obedecer a condição de conservação da magnetização não é permitido alterar um spin individualmente (ou um número ímpar de spins). Uma maneira de tratar a dinâmica desse sistema foi proposta por Kawasaki e consiste em simplesmente alternar o estado de spin de um par de partículas que tenham estados de spin oposto, ou seja:
É evidente que nesse caso a mudança na magnetização é conservada pois a troca de spins resulta em variação de magnetização nula.
Cada ponto da rede possui vizinhos e portanto a cada passo de iteração deve-se sortear com qual dos vizinhos será feita uma tentativa de troca de spins. Essa escolha é feita aleatoriamente (uniforme). Uma vez escolhido um vizinho deve-se decidir se a troca deve ser feita ou não. Essa decisão é tomada com base no método de Monte Carlo, em particular, com a probabilidade de aceitação de Metropolis exatamente como exposto na seção acima.
A ergodicidade é satisfeita pelo sistema pois um passo de Monte Carlo corresponde a uma troca entre vizinhos que numa rede finita pode ser efetuada a partir de outro estado qualquer em número finito de passos
Como já foi mencionado a rede possui pontos e número de coordenação
o que resulta em
pares de primeiros vizinhos, portanto, a probabilidade de selecionar um par qualquer é dada por:

A probabilidade de seleção é a mesma fazendo com que esses termos se cortem na condição de balanço detalhado e permitindo que se aplique a escolha de Metropolis discutida acima sem alterações.
Para efetivamente tomar a decisão sobre a troca entre vizinhos onde é necessário especificar como é feito seu cálculo.
é dado pela seguinte expressão:

Seja um ponto da rede e
primeiro vizinho de
. Deseja-se calcular a energia de interação entre esse par. A expressão acima apenas diz que deve-somar os produtos do spin de
,
, com seus primeiros vizinhos
excluindo-se da soma tanto
quanto
. Faz-se o mesmo procedimento para
, ou seja, soma-se os produtos do spin
,
, com todos os seus primeiros vizinhos
exceto ele mesmo e
. A soma dessas duas quantidades multiplicadas por
é igual a diferença de energia entre a configuração
e a
Simulação
Foram simulados três sistemas diferentes os quais são discutidos a seguir.
Interface linear
Esse sistema como condição inicial uma rede com a região da metade inferior completamente populada por partículas