Mudanças entre as edições de "Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem"
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==Introdução== | ==Introdução== | ||
− | O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de | + | O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de Ising sujeito CPO a grandeza análoga à magnetização se manteria constante a cada passo da simulação. |
Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água. | Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água. | ||
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===Gás de rede=== | ===Gás de rede=== | ||
− | O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede. Pode-se refinar o modelo de diversas formas | + | O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede. |
+ | Pode-se refinar o modelo de diversas formas: | ||
+ | * Conferindo inércia às partículas | ||
+ | * Alterando a forma da rede (quadrada, hexagonal, fcc, bcc, cúbica) | ||
+ | * Incluindo partículas de tipos diferentes com interações comum a seu respectivo tipo | ||
+ | * Presença e/ou tipos de colisões | ||
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+ | No entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces. | ||
==Teoria== | ==Teoria== | ||
− | No modelo simplificado do gás de rede as partículas ( | + | No modelo simplificado do gás de rede as partículas (sem inércia), movem-se de forma aleatória sob excitação térmica e satisfazem as seguintes condições: |
#O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação. | #O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação. | ||
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As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces. | As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces. | ||
− | A cada ponto da rede associamos o valor <math>+1</math> se houver uma partícula nesse ponto ou <math>0</math> caso contrário. Representamos essa variável por <math>\sigma_i</math>, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável <math>\sigma_i</math> pode assumir apenas os valores <math>+1</math> ou <math>0</math> | + | A cada ponto da rede associamos o valor <math>+1</math> se houver uma partícula nesse ponto ou <math>0</math> caso contrário. Representamos essa variável por <math>\sigma_i</math>, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável <math>\sigma_i</math> pode assumir apenas os valores <math>+1</math> ou <math>0</math>, ou resumidamente: |
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+ | 0, \text{ponto da rede vazio} \\ | ||
+ | 1, \text{ponto da rede ocupado} \\ | ||
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A conservação do número de partículas exige que se tenha: | A conservação do número de partículas exige que se tenha: | ||
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<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>M = \sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math></div> | <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>M = \sum_i s_i = N(2\rho - 1)</math></div> | ||
− | ==Transição de | + | No entanto, <math>\rho</math> e <math>N</math> devem permanecer constantes durante toda a simução, isso implica que a magnetização também é sempre constante, ou seja, a magneticação é o '''parâmetro de ordem conservado''' nesse sistema fato que dá nome ao método. |
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+ | É vantajoso tratar o modelo de gás de rede sob a perspectiva de um modelo de Ising pois todo o arcabouço de técnicas amplamente conhecidas e extensivamente estudadas para o modelo de Ising podem ser aplicadas. | ||
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+ | Apesar das similaridades, o gás de rede, como definido, possui muito menos estados válidos pois não é permitido alterar a magnetização do sistema enquanto no modelo de Ising qualquer spin individual pode ser invertido sem restrições pois a magnetização não precisa se manter constante. | ||
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+ | ==Transição de fase== | ||
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+ | Aproveitando a equivalência estabelecida entre gás de rede e o modelo de Ising sabe-se que o sistema possui uma transição de fase que ocorre a uma temperatura crítica <math>T_c</math>. Rearranjando a densidade de pontos (equivalente agora a spins up) tem-se: | ||
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+ | <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>2\rho - 1 = \frac{M}{N}</math></div> | ||
+ | <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\rho = \frac{1}{2}(1+m)</math></div> | ||
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+ | No modelo de Ising sabe-se também que abaixo da temperatura crítica existem dois valores de equilíbrio para a magnetização que são <math>+|m|</math> e <math>-|m|</math>, portanto, para favorecer a coexistência de fases tem-se que: | ||
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+ | <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>\frac{1}{2}(1-|m|) = \rho_- \le \rho \le \rho_+ = \frac{1}{2}(1+|m|)</math></div> | ||
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+ | ===Coexistência de fase=== | ||
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+ | Para valores de <math>\rho</math> fora do intervalo <math>\rho_- \le \rho \le \rho_+</math> ainda é possível que uma região do sistema favoreça uma das duas densidades preferenciais. Suponha que se tenha <math>\rho < \rho_-</math>. Nesse caso o sistema possui menos partículas do que precisa pra atingir o a densidade <math>\rho_+</math>. Ainda que localmente seja possível o sistema atingir a densidade <math>\rho_+</math> isso leva a uma falta ainda maior de partículas em outras regiões do sistema sendo, portanto, energeticamente custoso. A opção energeticamente mais favorável adotada pelo sistema é distribuir as poucas partículas homegeneamente pela rede. Esse comportamento é observado na simulação. | ||
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+ | Dessa forma, no caso de <math>J>0</math> o sistema possui duas fases: | ||
+ | * Uma em que <math>\rho\in[\rho_-,\rho_+]</math> se dividindo em dois domínios cada qual favorecendo uma das duas densidades <math>\pm\rho</math> | ||
+ | * E outra em que <math>\rho\not\in[\rho_-,\rho_+]</math> tendo densidade homogênea | ||
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+ | Com <math>/rho</math> sujeito ao intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> conclui-se que <math>/rho</math> pode assumir um intervalo menor de valores a medida que <math>|m|</math> diminui. A magnetização diminui sob o aumento da temperatura. Acima da temperatura crítica a <math>|m|=0</math> e portanto o intervalo <math>\frac{1}{2}(1-|m|) \le \rho \le \frac{1}{2}(1+|m|)</math> reduz-se a zero evidenciando que não existe mais um valor de <math>\rho</math> que evite a homogeinização da rede. | ||
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+ | A discussão acima pode ser apresentada resumidamente pelo diagrama de fases: | ||
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+ | [[Arquivo:Cop_phase_diagram.png|frame|200px|center|Diagrama de fases do modelo CPO. Fase homogênea para temperaturas além da temperatura crítica e fase coexistente abaixo com densidades preferenciais <math>\rho_+</math> e <math>\rho_-</math>]] | ||
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+ | Esse comportamento é observado quando se diminui a temperatura de vapor d'agua que passa a formar gotas líquidas que coexistem com o vapor para um intervalo de temperaturas. A fase condensada do gás de rede, no entanto, é mais adequadamente interpretada como um sólido devido a posição fixa das partículas (análogas a moléculas ou átomos) na rede, dessa forma, falamos de interface vapor/sólido ao invés de vapor/líquido. | ||
==Implementação== | ==Implementação== |
Edição das 16h25min de 24 de janeiro de 2018
Índice
Introdução
O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de Ising sujeito CPO a grandeza análoga à magnetização se manteria constante a cada passo da simulação.
Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.
Gás de rede
O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede. Pode-se refinar o modelo de diversas formas:
- Conferindo inércia às partículas
- Alterando a forma da rede (quadrada, hexagonal, fcc, bcc, cúbica)
- Incluindo partículas de tipos diferentes com interações comum a seu respectivo tipo
- Presença e/ou tipos de colisões
No entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces.
Teoria
No modelo simplificado do gás de rede as partículas (sem inércia), movem-se de forma aleatória sob excitação térmica e satisfazem as seguintes condições:
- O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação.
- Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli.
- Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração
que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real.
As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces.
A cada ponto da rede associamos o valor se houver uma partícula nesse ponto ou
caso contrário. Representamos essa variável por
, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável
pode assumir apenas os valores
ou
, ou resumidamente:
A conservação do número de partículas exige que se tenha:

Onde é a densidade de partículas e
é o número total de partículas, sendo, portanto,
o número de pontos ocupados da rede.
O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade :

Onde denota soma sobre todos os pares de primeiros vizinhos da rede.
Equivalência ao modelo de Ising
Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável:

Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores:
-
quando
, ou seja, posição ocupada por partícula; ou
-
quando
, ou seja, posição não ocupada
Em termos da variável de spin é dada por:

Substituindo no Hamiltoniano tem-se:


Seja o número de coordenação da rede, ou seja, o número de primeiros vizinhos (
para rede quadrada e
para rede cúbica simples). Para uma dada rede existem
possíveis pares distintos
Pode-se simplificar esssa expressão com base nas seguintes observações:
- Os somatórios em
e
são idênticos exceto pelo índice.
- A soma
sobre pares de vizinhos é equivalente a somar
vezes sobre o número de pontos da rede:

-
pode ser escrito em termos das constantes
e
assim como ocorre com





Dessa forma o Hamiltoniano se reduz a:




Seja J = e observando que
é uma constante pois todos seus termos são constantes, chegamos na equivalência com o Hamiltoniano do modelo de Ising na ausência de campo magnético:

O valor esperado de qualquer quantidade física
não é alterado pela adição de uma constante ao hamiltoniano:
Conservação do parâmetro de ordem
A magnetização do sistema é nada mais do que a soma de spins que já calculamos acima:

No entanto, e
devem permanecer constantes durante toda a simução, isso implica que a magnetização também é sempre constante, ou seja, a magneticação é o parâmetro de ordem conservado nesse sistema fato que dá nome ao método.
É vantajoso tratar o modelo de gás de rede sob a perspectiva de um modelo de Ising pois todo o arcabouço de técnicas amplamente conhecidas e extensivamente estudadas para o modelo de Ising podem ser aplicadas.
Apesar das similaridades, o gás de rede, como definido, possui muito menos estados válidos pois não é permitido alterar a magnetização do sistema enquanto no modelo de Ising qualquer spin individual pode ser invertido sem restrições pois a magnetização não precisa se manter constante.
Transição de fase
Aproveitando a equivalência estabelecida entre gás de rede e o modelo de Ising sabe-se que o sistema possui uma transição de fase que ocorre a uma temperatura crítica . Rearranjando a densidade de pontos (equivalente agora a spins up) tem-se:


No modelo de Ising sabe-se também que abaixo da temperatura crítica existem dois valores de equilíbrio para a magnetização que são e
, portanto, para favorecer a coexistência de fases tem-se que:

Coexistência de fase
Para valores de fora do intervalo
ainda é possível que uma região do sistema favoreça uma das duas densidades preferenciais. Suponha que se tenha
. Nesse caso o sistema possui menos partículas do que precisa pra atingir o a densidade
. Ainda que localmente seja possível o sistema atingir a densidade
isso leva a uma falta ainda maior de partículas em outras regiões do sistema sendo, portanto, energeticamente custoso. A opção energeticamente mais favorável adotada pelo sistema é distribuir as poucas partículas homegeneamente pela rede. Esse comportamento é observado na simulação.
Dessa forma, no caso de o sistema possui duas fases:
- Uma em que
se dividindo em dois domínios cada qual favorecendo uma das duas densidades
- E outra em que
tendo densidade homogênea
Com sujeito ao intervalo
conclui-se que
pode assumir um intervalo menor de valores a medida que
diminui. A magnetização diminui sob o aumento da temperatura. Acima da temperatura crítica a
e portanto o intervalo
reduz-se a zero evidenciando que não existe mais um valor de
que evite a homogeinização da rede.
A discussão acima pode ser apresentada resumidamente pelo diagrama de fases:
Esse comportamento é observado quando se diminui a temperatura de vapor d'agua que passa a formar gotas líquidas que coexistem com o vapor para um intervalo de temperaturas. A fase condensada do gás de rede, no entanto, é mais adequadamente interpretada como um sólido devido a posição fixa das partículas (análogas a moléculas ou átomos) na rede, dessa forma, falamos de interface vapor/sólido ao invés de vapor/líquido.