Mudanças entre as edições de "Grupo - Conservação do Parâmetro de Ordem"
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− | O modelo de Ising possui características universais que permitem | + | O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de ferromagneto estilo CPO manteria a magnetização constante a cada passo da simulação. |
− | + | Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água. | |
− | O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede | + | ===Gás de rede=== |
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+ | O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede. Pode-se refinar o modelo de diversas formas tais como incluir inércia ou colisões, no entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces. | ||
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+ | No modelo simplificado do gás de rede as partículas (pontos da rede) se movem de forma aleatória sob influência térmica e satisfazem as seguintes condições: | ||
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+ | #O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação. | ||
+ | #Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli. | ||
+ | #Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração <math>\epsilon</math> que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real. | ||
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+ | As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces. | ||
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+ | A cada ponto da rede associamos o valor <math>+1</math> se houver uma partícula nesse ponto ou <math>0</math> caso contrário. Representamos essa variável por <math>\sigma_i</math>, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável <math>\sigma_i</math> pode assumir apenas os valores <math>+1</math> ou <math>0</math>. | ||
+ | A conservação do número de partículas exige que se tenha: | ||
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+ | O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade <math>\epsilon</math>: | ||
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+ | Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável: | ||
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+ | Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores: | ||
+ | * <math>+1</math> quando <math>\sigma_i = +1</math>, ou seja, posição ocupada por partícula; ou | ||
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+ | <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>H = -\frac{1}{4}\epsilon\sum_{<ij>}(s_i+1)(s_j+1)</math> </div> | ||
+ | ==Implementação== | ||
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+ | ==Equilíbrio== |
Edição das 14h01min de 24 de janeiro de 2018
Índice
Introdução
O modelo de Ising possui características universais que permitem aplicá-lo a situações diversas sendo tão versátil a ponto de descrever desde ferromagnetos até interações sociais. Dentro dessa gama de possibilidades existe o modelo de Conservação do Parâmetro de Ordem (CPO) em que, como o nome indica, mantém-se o parâmetro de ordem constante. No caso de um ferromagneto o parâmetro de ordem é a magnetização, portanto, um modelo de ferromagneto estilo CPO manteria a magnetização constante a cada passo da simulação.
Apesar da estrutura matemática muito similar ao modelo de Ising, o modelo de CPO com sua simples condição de conservação do parâmetro de ordem aliado a condições de contorno permite que se modele sistemas marcadamente diferentes do tradicional sistema de ferromagneto tais como o gás de rede onde é possível estudar o comportamento de interfaces vapor-sólido ou vapor-líquido em condições de equilíbrio como por exemplo o equilíbrio entre água líquida e seu vapor ou entre gelo e vapor d'água.
Gás de rede
O gás de rede é um modelo simplificado de um gás real onde se associa a cada ponto da rede uma partícula (átomo) ou sua ausência (vacância). Ao contrário do gás real a coordenada do movimento não é contínua, pois as partículas se movem de maneira discreta somente pelos vértices da rede. Pode-se refinar o modelo de diversas formas tais como incluir inércia ou colisões, no entanto, uma versão simplificada (e simples de simular) desse modelo é suficiente para reproduzir qualitativamente o comportamento de interfaces.
Teoria
No modelo simplificado do gás de rede as partículas (pontos da rede) se movem de forma aleatória sob influência térmica e satisfazem as seguintes condições:
- O número total de partículas é fixo: nenhuma partícula deixa ou entra no sistema, portanto, caso desapareça a partícula deve reaparecer em outro ponto da rede no mesmo passo de simulação.
- Um ponto da rede pode ser ocupado por uma única partícula ou permanecer vazio (não ocupado). Essa é uma maneira grosseira de assimilar o caráter físico de repulsão do gás real onde partículas não podem interpenetrar-se devido a exclusão de Pauli.
- Se duas partículas são primeiras vizinhas uma da outra elas sentem uma atração
que é a mesma para qualquer par de partículas. Essa condição modela o efeito de atração entre partículas de um gás real.
As forças de atração e repulsão num gás real não possuem alcance de mesma ordem. A repulsão é de curto alcance enquanto a atração é de longo-alcance. Embora o presente modelo trate as partículas como se o alcance de repulsão e atração fossem da mesma ordem, ainda é possível extrair propriedades físicas que tem paralelo com o gás real tais como transições de fase e formato de interfaces.
A cada ponto da rede associamos o valor se houver uma partícula nesse ponto ou
caso contrário. Representamos essa variável por
, ou seja, no iésimo ponto da rede a variável
pode assumir apenas os valores
ou
.
A conservação do número de partículas exige que se tenha:

Onde é a densidade de partículas e
é o número total de partículas, sendo, portanto,
o número de pontos ocupados da rede.
O hamiltoniano do sistema é modelado a partir da condição 2 exposta acima em que é especificado que um par de primeiros vizinhos na rede contribui para a diminuição da energia do sistema por uma quantidade :

Equivalência com o modelo de Ising
Para mostrar a equivalência com o modelo de Ising definimos a seguinte variável:

Essa nova variável é nada mais do que o spin no modelo de Ising para um ferromagneto assumindo os valores:
-
quando
, ou seja, posição ocupada por partícula; ou
-
quando
, ou seja, posição não ocupada
Em termos da variável de spin é dada por:

Substituindo no Hamiltoniano tem-se:
