Mudanças entre as edições de "Grupo5 - Eq. Schroedinger"

De Física Computacional
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== Método numérico ==
 
== Método numérico ==
  
Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de $\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}$:
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Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de <math>\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}</math>:
  
 
<math>\frac{\Psi^{n}_{j-1} - 2\Psi^{n}_{j} + \Psi^{n}_{j+1}}{\left(\Delta x \right)^2}</math>
 
<math>\frac{\Psi^{n}_{j-1} - 2\Psi^{n}_{j} + \Psi^{n}_{j+1}}{\left(\Delta x \right)^2}</math>
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<math>a\Psi^{n+1}_{j-1} + b_{j}\Psi^{n+1}_{j} + a\Psi^{n+1}_{j+1} = a^* \Psi^{n}_{j-1} + b_{j}^{*} \Psi^{n}_{j} + a^*\Psi^{n}_{j+1},</math>
 
<math>a\Psi^{n+1}_{j-1} + b_{j}\Psi^{n+1}_{j} + a\Psi^{n+1}_{j+1} = a^* \Psi^{n}_{j-1} + b_{j}^{*} \Psi^{n}_{j} + a^*\Psi^{n}_{j+1},</math>
onde <math>a \equiv -\frac{i \Delta t}{4(\Delta x)^2}</math> e <math>b_{j} \equiv 1+\frac{ i\Delta t}{2} \left[\frac{1}{(\Delta x)^2} + V(j \Delta x) \right]</math>. A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.
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onde
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<math>a \equiv -\frac{i \Delta t}{4(\Delta x)^2}</math> e <math>b_{j} \equiv 1+\frac{ i\Delta t}{2} \left[\frac{1}{(\Delta x)^2} + V(j \Delta x) \right]</math>.
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A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.
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Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale <math>\Psi^{n}_{0} = \Psi^{n}_{j_{max}}</math> para todo <math>n</math> (ou, para as bordas <math>a</math> e <math>b</math> há a relação <math>\Psi (a, t) = \Psi (b, t)</math> para todo <math>t</math>).

Edição das 20h24min de 23 de outubro de 2017

A evolução temporal do estado quântico é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como [citação do Cohen, descobrir como fazer a citação]:

Posto em unidades atômicas (onde e são unitários), o caso unidimensional de um elétron num potencial independente do tempo reduz-se a:


Método numérico

Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de :

e as discretizações de (explícita e implícita, respectivamente):

Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade \cite{enswork}.

O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:

onde

e .

A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.

Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale para todo (ou, para as bordas e há a relação para todo ).