Mudanças entre as edições de "Grupo5 - Eq. Schroedinger"

De Física Computacional
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A evolução temporal do estado quântico <math> \Psi(\mathbf{r},t) </math> é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como \cite{cohen}:
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A evolução temporal do estado quântico <math> \Psi(\mathbf{r},t) </math> é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como [citação do Cohen, descobrir como fazer a citação]:
  
 
<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)</math>
 
<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)</math>
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<math>\frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \left [ \frac{i}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2} - i V(x)\right ] \Psi(x,t)</math>
 
<math>\frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \left [ \frac{i}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2} - i V(x)\right ] \Psi(x,t)</math>
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== Método numérico ==
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Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de $\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}$:
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<math>\frac{\Psi^{n}_{j-1} - 2\Psi^{n}_{j} + \Psi^{n}_{j+1}}{\left(\Delta x \right)^2}</math>
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e as discretizações de <math>\frac{\partial \Psi}{\partial t}</math> (explícita e implícita, respectivamente):
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<math>\frac{\Psi^{n+1}_{j} - \Psi^{n}_{j}}{\Delta t}, \quad \frac{\Psi^{n}_{j} - \Psi^{n-1}_{j}}{\Delta t}</math>
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Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade \cite{enswork}.
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O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:
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<math>a\Psi^{n+1}_{j-1} + b_{j}\Psi^{n+1}_{j} + a\Psi^{n+1}_{j+1} = a^* \Psi^{n}_{j-1} + b_{j}^{*} \Psi^{n}_{j} + a^*\Psi^{n}_{j+1},</math>
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onde <math>a \equiv -\frac{i \Delta t}{4(\Delta x)^2}</math> e <math>b_{j} \equiv 1+\frac{ i\Delta t}{2} \left[\frac{1}{(\Delta x)^2} + V(j \Delta x) \right]</math>. A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.

Edição das 20h12min de 23 de outubro de 2017

A evolução temporal do estado quântico é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como [citação do Cohen, descobrir como fazer a citação]:

Posto em unidades atômicas (onde e são unitários), o caso unidimensional de um elétron num potencial independente do tempo reduz-se a:


Método numérico

Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de $\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}$:

e as discretizações de (explícita e implícita, respectivamente):

Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade \cite{enswork}.

O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:

onde e . A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.