Grupo5 - Eq. Schroedinger: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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A evolução temporal do estado quântico <math> \Psi(\mathbf{r},t) </math> é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como <ref>Referência teste.</ref> [citação do Cohen, descobrir como fazer a citação]:
A evolução temporal do estado quântico <math> \Psi(\mathbf{r},t) </math> é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como:


<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)</math>
<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)</math>
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==Referências==
==Referências==
{{Reflist}}
*Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F.Quantum mechanics. Volume 1. Wiley, 1991.
*Numerical Resolution Of The Schr ̈odinger Equation,Loren Jørgensen, David Lopes Cardozo, Etienne Thibierge.http://web.pa.msu.edu/people/duxbury/courses/phy480/SchrodingerDynamics.pdf

Edição das 21h51min de 23 de outubro de 2017

A evolução temporal do estado quântico é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como:

Posto em unidades atômicas (onde e são unitários), o caso unidimensional de um elétron num potencial independente do tempo reduz-se a:


Método numérico

Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de  :

e as discretizações de (explícita e implícita, respectivamente):

Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade \cite{enswork}.

O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:

onde

e .

A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.

Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale para todo (ou, para as bordas e há a relação para todo ).

Condições de contorno iguais a zero

Para as condições de contorno , a iteração reduz-se à equação matricial:


Condições de contorno periódicas

De maneira semelhante, a iteração do caso das condições de contorno periódicas - - reduz-se à equação matricial:


Condição inicial

Já a condição inicial é arbitrária, pois define o estado inicial do sistema que queremos tratar. Fazendo uma referência ao tratamento de sistemas clássicos, seria como definir posição e momento iniciais. É claro que, para ter o sentido físico de uma função de onda, deve-se ter o cuidado de criar uma condição inicial normalizada, satisfazendo

bastando, então, inseri-la no programa.

Implementação em C

Referências