Mudanças entre as edições de "Grupo5 - Eq. Schroedinger"

De Física Computacional
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===Condições de contorno periódicas===
 
===Condições de contorno periódicas===
De maneira semelhante, a iteração do caso das condições de contorno periódicas ($\Psi_0^n = \Psi_L^n$) reduz-se à equação matricial:  
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De maneira semelhante, a iteração do caso das condições de contorno periódicas (<math>\Psi_0^n = \Psi_L^n</math>) reduz-se à equação matricial:  
 
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\begin{pmatrix} b_0 & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & a\\ a & b_1 & a & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b_{L-1} & a \\ a & 0 & 0 & \cdots & 0 & a & b_{L}\end{pmatrix}
 
\begin{pmatrix} b_0 & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & a\\ a & b_1 & a & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b_{L-1} & a \\ a & 0 & 0 & \cdots & 0 & a & b_{L}\end{pmatrix}

Edição das 21h04min de 23 de outubro de 2017

A evolução temporal do estado quântico é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como [citação do Cohen, descobrir como fazer a citação]:

Posto em unidades atômicas (onde e são unitários), o caso unidimensional de um elétron num potencial independente do tempo reduz-se a:


Método numérico

Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de  :

e as discretizações de (explícita e implícita, respectivamente):

Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade \cite{enswork}.

O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:

onde

e .

A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.

Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale para todo (ou, para as bordas e há a relação para todo ).

Condições de contorno iguais a zero

Para as condições de contorno , a iteração reduz-se à equação matricial:


Condições de contorno periódicas

De maneira semelhante, a iteração do caso das condições de contorno periódicas () reduz-se à equação matricial:


Condição inicial

Já a condição inicial é arbitrária, pois define o estado inicial do sistema que queremos tratar. Fazendo uma referência ao tratamento de sistemas clássicos, seria como definir posição e momento iniciais. É claro que, para ter o sentido físico de uma função de onda, deve-se ter o cuidado de criar uma condição inicial normalizada, satisfazendo

bastando, então, inseri-la no programa.