Mudanças entre as edições de "Grupo5 - Eq. Schroedinger"

De Física Computacional
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== Método numérico ==
 
== Método numérico ==
  
Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de <math>\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}</math>:
+
Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de <math>\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}</math> :
  
 
<math>\frac{\Psi^{n}_{j-1} - 2\Psi^{n}_{j} + \Psi^{n}_{j+1}}{\left(\Delta x \right)^2}</math>
 
<math>\frac{\Psi^{n}_{j-1} - 2\Psi^{n}_{j} + \Psi^{n}_{j+1}}{\left(\Delta x \right)^2}</math>
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<math>a\Psi^{n+1}_{j-1} + b_{j}\Psi^{n+1}_{j} + a\Psi^{n+1}_{j+1} = a^* \Psi^{n}_{j-1} + b_{j}^{*} \Psi^{n}_{j} + a^*\Psi^{n}_{j+1},</math>
 
<math>a\Psi^{n+1}_{j-1} + b_{j}\Psi^{n+1}_{j} + a\Psi^{n+1}_{j+1} = a^* \Psi^{n}_{j-1} + b_{j}^{*} \Psi^{n}_{j} + a^*\Psi^{n}_{j+1},</math>
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onde
 
onde
  
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Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale <math>\Psi^{n}_{0} = \Psi^{n}_{j_{max}}</math> para todo <math>n</math> (ou, para as bordas <math>a</math> e <math>b</math> há a relação <math>\Psi (a, t) = \Psi (b, t)</math> para todo <math>t</math>).
 
Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale <math>\Psi^{n}_{0} = \Psi^{n}_{j_{max}}</math> para todo <math>n</math> (ou, para as bordas <math>a</math> e <math>b</math> há a relação <math>\Psi (a, t) = \Psi (b, t)</math> para todo <math>t</math>).
  
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===Condições de contorno iguais a zero===
 +
Para as condições de contorno <math>\Psi_0^n = \Psi_L^n = 0</math>, a iteração reduz-se à equação matricial:
 +
 +
:<math>
 +
\begin{pmatrix}
 +
b_1 & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ a & b_2 & a & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b_{L-2} & a \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a & b_{L-1}
 +
\end{pmatrix}
 +
\begin{pmatrix} \Psi_1^{n+1} \\ \Psi_2^{n+1} \\ \vdots \\ \Psi_{L-2}^{n+1} \\ \Psi_{L-1}^{n+1} \end{pmatrix}
 +
=
 +
\begin{pmatrix} b_1^* & a^* & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ a^* & b_2^* & a^* & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a^* & b_{L-2}^* & a^* \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a^* & b_{L-1}^*\end{pmatrix}
 +
\begin{pmatrix} \Psi_1^{n} \\ \Psi_2^{n} \\ \vdots \\ \Psi_{L-2}^{n} \\ \Psi_{L-1}^{n} \end{pmatrix}
 +
</math>
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===Condições de contorno periódicas===
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De maneira semelhante, a iteração do caso das condições de contorno periódicas ($\Psi_0^n = \Psi_L^n$) reduz-se à equação matricial:
 +
:<math>
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\begin{pmatrix} b_0 & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & a\\ a & b_1 & a & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b_{L-1} & a \\ a & 0 & 0 & \cdots & 0 & a & b_{L}\end{pmatrix}
 +
\begin{pmatrix} \Psi_0^{n+1} \\ \Psi_2^{n+1} \\ \vdots \\ \Psi_{L-1}^{n+1} \\ \Psi_{L}^{n+1} \end{pmatrix}
 +
=
 +
\begin{pmatrix} b_0^* & a^* & 0 & \cdots & 0 & 0 & a^*\\ a^* & b_1^* & a^* & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a^* & b_{L-1}^* & a^* \\ a^* & 0 & 0 & \cdots & 0 & a^* & b_{L}^*\end{pmatrix}
 +
\begin{pmatrix} \Psi_0^{n} \\ \Psi_2^{n} \\ \vdots \\ \Psi_{L-1}^{n} \\ \Psi_{L}^{n} \end{pmatrix}
 +
</math>
 +
 +
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===Condição inicial===
 
Já a condição inicial é arbitrária, pois define o estado inicial do sistema que queremos tratar. Fazendo uma referência ao tratamento de sistemas clássicos, seria como definir posição e momento iniciais. É claro que, para ter o sentido físico de uma função de onda, deve-se ter o cuidado de criar uma condição inicial normalizada, satisfazendo   
 
Já a condição inicial é arbitrária, pois define o estado inicial do sistema que queremos tratar. Fazendo uma referência ao tratamento de sistemas clássicos, seria como definir posição e momento iniciais. É claro que, para ter o sentido físico de uma função de onda, deve-se ter o cuidado de criar uma condição inicial normalizada, satisfazendo   
  

Edição das 22h00min de 23 de outubro de 2017

A evolução temporal do estado quântico é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como [citação do Cohen, descobrir como fazer a citação]:

Posto em unidades atômicas (onde e são unitários), o caso unidimensional de um elétron num potencial independente do tempo reduz-se a:


Método numérico

Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de  :

e as discretizações de (explícita e implícita, respectivamente):

Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade \cite{enswork}.

O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:

onde

e .

A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.

Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale para todo (ou, para as bordas e há a relação para todo ).

Condições de contorno iguais a zero

Para as condições de contorno , a iteração reduz-se à equação matricial:


Condições de contorno periódicas

De maneira semelhante, a iteração do caso das condições de contorno periódicas ($\Psi_0^n = \Psi_L^n$) reduz-se à equação matricial:


Condição inicial

Já a condição inicial é arbitrária, pois define o estado inicial do sistema que queremos tratar. Fazendo uma referência ao tratamento de sistemas clássicos, seria como definir posição e momento iniciais. É claro que, para ter o sentido físico de uma função de onda, deve-se ter o cuidado de criar uma condição inicial normalizada, satisfazendo

bastando, então, inseri-la no programa.