Mudanças entre as edições de "Grupo5 - Eq. Schroedinger"

De Física Computacional
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(Método numérico)
 
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A evolução temporal do estado quântico <math> \Psi(\mathbf{r},t) </math> é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como [citação do Cohen, descobrir como fazer a citação]:
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A evolução temporal do estado quântico <math> \Psi(\mathbf{r},t) </math> é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como:
  
 
<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)</math>
 
<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)</math>
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e as discretizações de <math>\frac{\partial \Psi}{\partial t}</math> (explícita e implícita, respectivamente):
 
e as discretizações de <math>\frac{\partial \Psi}{\partial t}</math> (explícita e implícita, respectivamente):
  
<math>\frac{\Psi^{n+1}_{j} - \Psi^{n}_{j}}{\Delta t}, \quad \frac{\Psi^{n}_{j} - \Psi^{n-1}_{j}}{\Delta t}</math>
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<math>\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{\Psi^{n+1}_{j} - \Psi^{n}_{j}}{\Delta t}</math> (explícita)
  
Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade \cite{enswork}.
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<math>\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{\Psi^{n}_{j} - \Psi^{n-1}_{j}}{\Delta t}</math>  (implícita)
  
O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:
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No método implícito as diferenças são tomadas no tempo <math> n+1 </math> ao invés de tomá-las no tempo <math> n </math> como no método explícito.
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<math>\frac{\Psi^{n+1}_{j} - \Psi^{n}_{j}}{\Delta t} = \frac{\Psi^{n+1}_{j+1} - 2\Psi^{n+1}_{j} + \Psi^{n+1}_{j-1}}{\left(\Delta x \right)^2}</math>
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fazendo <math>\lambda = \frac{\Delta t}{(\Delta x)^2}</math>, temos:
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<math>\Psi^{n}_{j} = - \lambda\Psi^{n+1}_{j+1} + (1 + 2 \lambda)\Psi^{n+1}_{j} - \lambda\Psi^{n+1}_{j-1}</math>
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Considerando <math>0 \leq j \leq M </math> temos <math> M - 1 </math> equações simultâneas. O método implícito converge à solução da EDP desde que <math> \Delta x \rightarrow 0 </math> e <math> \Delta t \rightarrow 0 </math> independente do valor de <math>\lambda</math>.
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Para obter os valores no dado tempo <math> n+1 </math> se resolve o conjunto de equações simultaneamente dado pela equação acima que pode ser escrita na forma matricial,
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:<math>
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\begin{pmatrix}
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-\lambda & (1+2\lambda) & -\lambda & \cdots & 0 & 0 & 0\\ 0 & -\lambda & (1+2\lambda) & -\lambda & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda & (1+2\lambda) & -\lambda
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\end{pmatrix}
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\begin{pmatrix} \Psi_0^{n+1} \\ \Psi_1^{n+1} \\ \vdots \\ \Psi_{j-1}^{n+1}\end{pmatrix}
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=
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\begin{pmatrix} \Psi_0^{n} \\ \Psi_1^{n} \\ \vdots \\ \Psi_{j-1}^{n} \end{pmatrix}
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</math>
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Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade.
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O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Essa combinação dá a estabilidade do método implícito e a precisão do método explícito, apesar de causar oscilações numéricas (podendo ser contornadas usando passos de tempo menores). Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:
  
 
<math>a\Psi^{n+1}_{j-1} + b_{j}\Psi^{n+1}_{j} + a\Psi^{n+1}_{j+1} = a^* \Psi^{n}_{j-1} + b_{j}^{*} \Psi^{n}_{j} + a^*\Psi^{n}_{j+1},</math>
 
<math>a\Psi^{n+1}_{j-1} + b_{j}\Psi^{n+1}_{j} + a\Psi^{n+1}_{j+1} = a^* \Psi^{n}_{j-1} + b_{j}^{*} \Psi^{n}_{j} + a^*\Psi^{n}_{j+1},</math>
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==Implementação em C==
 
==Implementação em C==
  
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<source lang="c">
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#include <stdio.h>
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#include <math.h>
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#include <complex.h>
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#define N_steps 100000
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#define L 1000
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#define dt 1
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#define dx 4.0
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#define w 0.002
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double V(int x_rel)
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{
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return - pow(w,2) * pow(x_rel - 500,2) / 2.0; //SHO
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//return 0;
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}
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double complex b(int i)
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{
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return 0.5 * dt * I * (1.0 / pow(dx,2.0) + V(i)) + 1.0;
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}
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double u_0(int x_rel)
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{
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//return sqrt(2 / L) * sin(5*x_rel * M_PI / L); //eigenstate of infinite square well
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//return (1.0/ sqrt(5 * M_PI)) * exp(I * 0.5 * x_rel) * exp(-pow(x_rel - 500, 2) / (2 * 25)); //gaussian packet
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return  (w / M_PI) * exp(-w * pow(x_rel - 500, 2) / 2.0);
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}
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void CN(double complex *u, double complex *u_aux, double complex *u_next, double complex a, int bi)
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{
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//bi = 1 (bounded); bi = 0 (periodic)
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int i;
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for(i = bi; i <= L - bi; i++) u_aux[i] = conj(a) * (u[(i-1+L)%L] + u[(i+1+L)%L]) + conj(b(i)) * u[i];
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//thomas algorithm
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double complex c_new[L+1], d_new[L+1];
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 +
c_new[bi] = a / b(bi);
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for(i = 1 + bi; i <= L - bi; i++) c_new[i] = a / (b(i) - c_new[i-1] * a);
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 +
d_new[bi] = u_aux[bi] / b(bi);
 +
for(i = 1 + bi; i <= L - bi; i++) d_new[i] = (u_aux[i] - d_new[i-1] * a) / (b(i) - c_new[i-1] * a);
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if (bi == 1) u_next[0] = u_next[L] = 0;
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u_next[L-bi] = d_new[L-bi];
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for(i = L-1-bi; i >= bi; i --) u_next[i] = d_new[i] - c_new[i] * u_next[i+1];
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//u = u_next
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for(i = 0; i <= L; i++) u[i] = u_next[i];
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}
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int main(void)
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{
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int i, j, n = 0;
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double complex u[L+1], u_next[L+1], u_aux[L+1], a = - 0.25 * I * dt / pow(dx,2.0);
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//Initial Contition
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for(i = 0; i <= L; i ++) u[i] = u_0(i);
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while(n < N_steps)
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{
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CN(u, u_aux, u_next, a, 0);
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printf("set title 'Time = %d'\nplot \'-' w lp pt 7 ps 0.1", n);
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for(i = 0; i <= L; i ++) printf("%d\t%.10lf\n",i,pow(creal(u[i]),2) + pow(cimag(u[i]),2));
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//for(i = 0; i <= L; i ++) printf("%d\t%lf\n",i,cimag(u[i]));
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//for(i = 0; i <= L; i ++) printf("%d\t%lf\n",i,creal(u[i]));
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printf("e\npause 0.1\n");
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n ++;
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}
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return 0;
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}
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==Aplicações==
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===Linearidade da função de onda===
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[[Arquivo:gaussian_sho.gif]]
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===Pacote gaussiano estacionário num oscilador harmônico===
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[[Arquivo:gaussian_linearity.gif]]
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===Pacote gaussiano tunelando uma berreira de potencial===
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[[Arquivo:gaussian_barrier.gif]]
  
 
==Referências==
 
==Referências==
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*Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F. Quantum mechanics. Volume 1. Wiley, 1991.
 +
*Numerical Resolution Of The Schrödinger Equation. Jorgensen L., Lopes Cardozo D., Thivierge E. http://web.pa.msu.edu/people/duxbury/courses/phy480/SchrodingerDynamics.pdf
 +
*Crank, J.; Nicolson, P. (1947). "A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat conduction type". Proc. Camb. Phil. Soc. 43 (1): 50–67. doi:10.1007/BF02127704.
 +
*Sherer, Philipp O.J., Computational Physics simulation of Classical and Quantum Systems. Springer, 2010.
 +
*Born M., Nobel lecture: The statistical interpretation of quantum mechanics. 11 de Dezembro de 1954. https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/born-lecture.pdf

Edição atual tal como às 13h52min de 17 de janeiro de 2018

A evolução temporal do estado quântico é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como:

Posto em unidades atômicas (onde e são unitários), o caso unidimensional de um elétron num potencial independente do tempo reduz-se a:


Método numérico

Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de  :

e as discretizações de (explícita e implícita, respectivamente):

(explícita)

(implícita)

No método implícito as diferenças são tomadas no tempo ao invés de tomá-las no tempo como no método explícito.

fazendo , temos:

Considerando temos equações simultâneas. O método implícito converge à solução da EDP desde que e independente do valor de .

Para obter os valores no dado tempo se resolve o conjunto de equações simultaneamente dado pela equação acima que pode ser escrita na forma matricial,

Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade.

O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Essa combinação dá a estabilidade do método implícito e a precisão do método explícito, apesar de causar oscilações numéricas (podendo ser contornadas usando passos de tempo menores). Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:

onde

e .

A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.

Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale para todo (ou, para as bordas e há a relação para todo ).

Condições de contorno iguais a zero

Para as condições de contorno , a iteração reduz-se à equação matricial:


Condições de contorno periódicas

De maneira semelhante, a iteração do caso das condições de contorno periódicas - - reduz-se à equação matricial:


Condição inicial

Já a condição inicial é arbitrária, pois define o estado inicial do sistema que queremos tratar. Fazendo uma referência ao tratamento de sistemas clássicos, seria como definir posição e momento iniciais. É claro que, para ter o sentido físico de uma função de onda, deve-se ter o cuidado de criar uma condição inicial normalizada, satisfazendo

bastando, então, inseri-la no programa.

Implementação em C


#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex.h> 

#define N_steps 100000
#define L 1000
#define dt 1
#define dx 4.0
#define w 0.002

double V(int x_rel)
{
	return - pow(w,2) * pow(x_rel - 500,2) / 2.0; //SHO

	//return 0; 
}

double complex b(int i)
{
	return 0.5 * dt * I * (1.0 / pow(dx,2.0) + V(i)) + 1.0;
}

double u_0(int x_rel)
{
	//return sqrt(2 / L) * sin(5*x_rel * M_PI / L); //eigenstate of infinite square well

	//return (1.0/ sqrt(5 * M_PI)) * exp(I * 0.5 * x_rel) * exp(-pow(x_rel - 500, 2) / (2 * 25)); //gaussian packet

	return  (w / M_PI) * exp(-w * pow(x_rel - 500, 2) / 2.0);
}

void CN(double complex *u, double complex *u_aux, double complex *u_next, double complex a, int bi)
{
	//bi = 1 (bounded); bi = 0 (periodic)

	int i;

	for(i = bi; i <= L - bi; i++) u_aux[i] = conj(a) * (u[(i-1+L)%L] + u[(i+1+L)%L]) + conj(b(i)) * u[i];

	//thomas algorithm

	double complex c_new[L+1], d_new[L+1];

	c_new[bi] = a / b(bi);
	for(i = 1 + bi; i <= L - bi; i++) c_new[i] = a / (b(i) - c_new[i-1] * a);

	d_new[bi] = u_aux[bi] / b(bi);
	for(i = 1 + bi; i <= L - bi; i++) d_new[i] = (u_aux[i] - d_new[i-1] * a) / (b(i) - c_new[i-1] * a);

	if (bi == 1) u_next[0] = u_next[L] = 0;
	u_next[L-bi] = d_new[L-bi];
	for(i = L-1-bi; i >= bi; i --) u_next[i] = d_new[i] - c_new[i] * u_next[i+1];
	
	//u = u_next

	for(i = 0; i <= L; i++) u[i] = u_next[i];
} 

int main(void)
{
	int i, j, n = 0;

	double complex u[L+1], u_next[L+1], u_aux[L+1], a = - 0.25 * I * dt / pow(dx,2.0);

	//Initial Contition
	for(i = 0; i <= L; i ++) u[i] = u_0(i);

	while(n < N_steps)
	{
		CN(u, u_aux, u_next, a, 0);
		printf("set title 'Time = %d'\nplot \'-' w lp pt 7 ps 0.1", n);
		for(i = 0; i <= L; i ++) printf("%d\t%.10lf\n",i,pow(creal(u[i]),2) + pow(cimag(u[i]),2));
		//for(i = 0; i <= L; i ++) printf("%d\t%lf\n",i,cimag(u[i]));
		//for(i = 0; i <= L; i ++) printf("%d\t%lf\n",i,creal(u[i]));
		printf("e\npause 0.1\n"); 
		n ++;
	}

	return 0;
	
}

Aplicações

Linearidade da função de onda

Gaussian sho.gif


Pacote gaussiano estacionário num oscilador harmônico

Gaussian linearity.gif


Pacote gaussiano tunelando uma berreira de potencial

Gaussian barrier.gif

Referências