Exibir código-fonte para Grupo5 - Eq. Schroedinger

A evolução temporal do estado quântico <math> \Psi(\mathbf{r},t) </math> é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como:

<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)</math>

Posto em unidades atômicas (onde <math>m_e</math> e <math>\hbar</math> são unitários), o caso unidimensional de um elétron num potencial independente do tempo reduz-se a:  

<math>\frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \left [ \frac{i}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2} - i V(x)\right ] \Psi(x,t)</math>


== Método numérico ==

Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de <math>\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}</math> :

<math>\frac{\Psi^{n}_{j-1} - 2\Psi^{n}_{j} + \Psi^{n}_{j+1}}{\left(\Delta x \right)^2}</math>

e as discretizações de <math>\frac{\partial \Psi}{\partial t}</math> (explícita e implícita, respectivamente):

<math>\frac{\Psi^{n+1}_{j} - \Psi^{n}_{j}}{\Delta t}, \quad \frac{\Psi^{n}_{j} - \Psi^{n-1}_{j}}{\Delta t}</math>

Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade \cite{enswork}.

O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:

<math>a\Psi^{n+1}_{j-1} + b_{j}\Psi^{n+1}_{j} + a\Psi^{n+1}_{j+1} = a^* \Psi^{n}_{j-1} + b_{j}^{*} \Psi^{n}_{j} + a^*\Psi^{n}_{j+1},</math>

onde

<math>a \equiv -\frac{i \Delta t}{4(\Delta x)^2}</math> e <math>b_{j} \equiv 1+\frac{ i\Delta t}{2} \left[\frac{1}{(\Delta x)^2} + V(j \Delta x) \right]</math>.

A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.

Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale <math>\Psi^{n}_{0} = \Psi^{n}_{j_{max}}</math> para todo <math>n</math> (ou, para as bordas <math>a</math> e <math>b</math> há a relação <math>\Psi (a, t) = \Psi (b, t)</math> para todo <math>t</math>).

===Condições de contorno iguais a zero===
Para as condições de contorno <math>\Psi_0^n = \Psi_L^n = 0</math>, a iteração reduz-se à equação matricial:

:<math>
\begin{pmatrix}
b_1 & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ a & b_2 & a & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b_{L-2} & a \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a & b_{L-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \Psi_1^{n+1} \\ \Psi_2^{n+1} \\ \vdots \\ \Psi_{L-2}^{n+1} \\ \Psi_{L-1}^{n+1} \end{pmatrix} 
= 
\begin{pmatrix} b_1^* & a^* & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ a^* & b_2^* & a^* & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a^* & b_{L-2}^* & a^* \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a^* & b_{L-1}^*\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \Psi_1^{n} \\ \Psi_2^{n} \\ \vdots \\ \Psi_{L-2}^{n} \\ \Psi_{L-1}^{n} \end{pmatrix} 
</math>


===Condições de contorno periódicas===
De maneira semelhante, a iteração do caso das condições de contorno periódicas - <math>\Psi_0^n = \Psi_L^n</math> - reduz-se à equação matricial: 
:<math>
\begin{pmatrix} b_0 & a & 0 & \cdots & 0 & 0 & a\\ a & b_1 & a & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b_{L-1} & a \\ a & 0 & 0 & \cdots & 0 & a & b_{L}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \Psi_0^{n+1} \\ \Psi_2^{n+1} \\ \vdots \\ \Psi_{L-1}^{n+1} \\ \Psi_{L}^{n+1} \end{pmatrix} 
= 
\begin{pmatrix} b_0^* & a^* & 0 & \cdots & 0 & 0 & a^*\\ a^* & b_1^* & a^* & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a^* & b_{L-1}^* & a^* \\ a^* & 0 & 0 & \cdots & 0 & a^* & b_{L}^*\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \Psi_0^{n} \\ \Psi_2^{n} \\ \vdots \\ \Psi_{L-1}^{n} \\ \Psi_{L}^{n} \end{pmatrix} 
</math>


===Condição inicial===
Já a condição inicial é arbitrária, pois define o estado inicial do sistema que queremos tratar. Fazendo uma referência ao tratamento de sistemas clássicos, seria como definir posição e momento iniciais. É claro que, para ter o sentido físico de uma função de onda, deve-se ter o cuidado de criar uma condição inicial normalizada, satisfazendo  

<math>\int _{-\infty}^{\infty} \, \left| \Psi (x, 0) \right|  ^2 \, dx = 1</math>

bastando, então, inseri-la no programa.

==Implementação em C==

===Condição de contorno limitada===
<br><code>
void CN(double complex *u, double complex *u_aux, double complex *u_next, double complex a)
{
	//Nomeia-se E a matriz da equação matricial que multiplica o estado evoluído no tempo.
	//Tem-se L, dx e dt definidos

	//u 		-- vetor de estado atual
	//u_aux		-- conj(E) * u 
	//u_next 	-- o novo estado

	//Esta função resolve resolve E * u_next = conj(E) * u

	int i;

	//atualização do vetor u_aux

	for(i = 1; i < L; i++) u_aux[i] = conj(a) * (u[i-1+] + u[i+1]) + conj(b(i)) * u[i];

	//para resolver E * u_next = u_aux, utiliza-se do Método de Thomas:

	double complex c_new[L+1], d_new[L+1];

	c_new[1] = a / b(1);
	for(i = 2; i < L; i++) c_new[i] = a / (b(i) - c_new[i-1] * a);

	d_new[1] = u_aux[1] / b(1);
	for(i = 2; i < L; i++) d_new[i] = (u_aux[i] - d_new[i-1] * a) / (b(i) - c_new[i-1] * a);

	u_next[0] = u_next[L] = 0;
	u_next[L-1] = d_new[L-1];
	for(i = L-2; i > 0; i --) u_next[i] = d_new[i] - c_new[i] * u_next[i+1];
	
	//atualiza-se o valor do estado: u = u_next

	for(i = 0; i <= L; i++) u[i] = u_next[i];
} 

</code><br>

==Referências==
*Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F. Quantum mechanics. Volume 1. Wiley, 1991.
*Numerical Resolution Of The Schrödinger Equation. Jorgensen L., Lopes Cardozo D., Thivierge E. http://web.pa.msu.edu/people/duxbury/courses/phy480/SchrodingerDynamics.pdf
*Sherer, Philipp O.J., Computational Physics simulation of Classical and Quantum Systems. Springer, 2010.