Grupo3 - Ondas2: mudanças entre as edições

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===O Modelo de Corda Ideal===
===O Modelo de Corda Ideal===


Para uma primeira abordagem da equação da onda, podemos primeiro dividir o comprimento <math>L</math> da corda em <math>K</math> intervalos de comprimentos iguais, dessa forma <math>\Delta x = \frac{L}{K}</math>. Cada intervalo é discretizado, portanto, como <math>x_i</math>, <math>i=0,1,...,K</math>. Também podemos dividir o tempo em intervalos iguais <math>\Delta t</math> e denotá-los como <math>t_n</math>, <math>n =0,1...</math>.
Para uma primeira abordagem da equação da onda, podemos primeiro dividir o comprimento <math>L</math> da corda em <math>K</math> intervalos de comprimentos iguais, dessa forma <math>\Delta x = \frac{L}{K}</math>. Cada intervalo é discretizado, representado por <math>x_i</math>, <math>i=0,1,...,K</math>. Também podemos dividir o tempo em intervalos iguais <math>\Delta t</math> e denotá-los como <math>t_n</math>, <math>n =0,1...</math>.


Tendo feita a discretização das variáveis, podemos aproximar a equação da onda por diferenciação finita:
Tendo feita a discretização das variáveis, podemos aproximar a equação da onda por diferenciação finita:

Edição das 22h24min de 24 de outubro de 2017

Introdução

Equações diferenciais parciais (EDP's) hiperbólicas geralmente podem ser formuladas a partir de teoremas de conservação. Um exemplo é a equação do tipo:

,

onde é o vetor de densidades da quantidade conservada, i.e., , é o fluxo de densidade e é um termo genérico representando fontes ou sumidouros.

Uma classe especial de equações hiperbólicas são as chamadas equações de adveção, na qual a derivada temporal da quantidade conservada é proporcional à sua derivada espacial. Nesses casos, é diagonal e dada por:

,

onde é a matriz identidade.

Considerando apenas uma dimensão e com , temos a equação de adveção:

,

onde é a velocidade de propagação do pulso gerado. A equação admite uma solução analítica da forma , representando uma onda se movendo na direção .

A equação da onda em uma dimensão é uma EDP hiperbólica de segunda ordem dada por

E admite duas soluções, representadas por pulsos, e .

Assumindo que na equação da onda, nos restringimos a problemas lineares. Além disso, se escrevermos

,

então a equação da onda pode ser escrita como um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem:

Em notação vetorial, o sistema acima pode ser reescrito na forma conservativa como: ,

onde

O Problema Físico

O Modelo de Corda Ideal

Para uma primeira abordagem da equação da onda, podemos primeiro dividir o comprimento da corda em intervalos de comprimentos iguais, dessa forma . Cada intervalo é discretizado, representado por , . Também podemos dividir o tempo em intervalos iguais e denotá-los como , .

Tendo feita a discretização das variáveis, podemos aproximar a equação da onda por diferenciação finita:

.

Sabendo que essa discretização da equação da onda pode ser verificada como sendo o método Leapfrog (ver seção do método de Leapfrog), podemos resolver a equação para para sabermos o deslocamento de uma partição da corda no momento de tempo seguinte, assim obtendo

,

onde

Um Quadro Mais Realístico - O Modelo de Corda Rígida

Para nos aproximarmos de um modelo mais real, podemos adicionar um termo à equação original da onda que corresponde ao efeito de fricção em uma corda. De acordo com [1], a equação da onda mais geral com efeito de fricção pode ser escrita como

onde é a velocidade transversal de propagação do pulso na corda, dada pela relação (sendo a tensão na corda e a densidade linear da mesma), é um parâmetro adimensional de fricção que representa a rigidez da corda e o comprimento da corda.

O parâmetro é dado por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon = \kappa² \frac{E S}{T L^2}} ,

onde é o raio da corda, é o Módulo de Young e a área da secção da corda.

Ao discretizarmos a equação da onda em uma corda com fricção e a resolvendo para obtemos:

O fato de essa discretização depender do deslocamento da corda em posições e implica em precisarmos simular "pontos fantasmas" quando integramos os extremos das cordas. Para fazermos isso, podemos ou utilizar a aproximação ou podemos considerar esses "pontos fantasmas" como pontos presos e, portanto, sempre iguais a zero.

Os Métodos Utilizados

Foi realizada uma abordagem ao problema da corda real a partir de três métodos diferentes de integração numérica. Os três são métodos para fins de resolução de equações diferenciais parciais da forma apresentada anteriormente.

O método mais básico é chamado de FTCS (Forward-Time-Centered-Space) e consiste em duas expansões de Taylor ao redor do ponto :

Subtraindo as duas expressões, encontramos a expressão

,

A qual podemos substituir na equação da onda, juntamente com a discretização da derivada parcial temporal. Temos então que, para um sistema linear de equações hiperbólicas:

Visto que essa última notação é mais genérica, ela será utilizada para a explicação dos métodos posteriores.

O Método de Lax-Friedrichs

O método de Lax-Friedrichs consiste em substituir o termo com sua respectiva média espacial, i.e., . Logo, temos a seguinte equação de recorrência:

O Método de Leapfrog

O Método de Lax-Wendroff

O método de Lax-Wendroff é a extensão do método de Lax-Friedrichs de segunda ordem. Calculamos o vetor a partir de um passo médio de Lax-Friedrichs:

,

,

E encontramos os fluxos a partir dos valores de

Logo, com um meio passo de Leapfrog, temos a expressão final do método: