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\frac{\partial²u}{\partial t²} = v² \frac{\partial² u}{\partial x²}.
\frac{\partial² u}{\partial t²} = v² \frac{\partial² u}{\partial x²}.
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Edição das 20h58min de 24 de outubro de 2017

Introdução

Equações diferenciais parciais (EDP's) hiperbólicas geralmente podem ser formuladas a partir de teoremas de conservação. Um exemplo é a equação do tipo:

,

onde é o vetor de densidades da quantidade conservada, i.e., , é o fluxo de densidade e é um termo genérico representando fontes ou sumidouros.

Uma classe especial de equações hiperbólicas são as chamadas equações de adveção, na qual a derivada temporal da quantidade conservada é proporcional à sua derivada espacial. Nesses casos, é diagonal e dada por:

,

onde é a matriz identidade.

Considerando apenas uma dimensão e com , temos a equação de adveção:

,

onde é a velocidade de propagação do pulso gerado. A equação admite uma solução analítica da forma , representando uma onda se movendo na direção .\\

A equação da onda em uma dimensão é uma EDP hiperbólica de segunda ordem dada por

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \frac{\partial² u}{\partial t²} = v² \frac{\partial² u}{\partial x²}. }

E admite duas soluções, representadas por pulsos, e .\\

Assumindo que na equação da onda, nos restringimos a problemas lineares. Além disso, se escrevermos

Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\hspace'): {\displaystyle k = v \hspace{0.3mm} \frac{\partial u}{\partial x}, \hspace{10mm} s = \frac{\partial u}{\partial t}, }

então a equação da onda pode ser escrita como um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem:

Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\begin{equation}'): {\displaystyle \begin{equation} \begin{cases}\frac{\partial k}{\partial t} = v\frac{\partial s}{\partial x} \\ \frac{\partial s}{\partial t} = v\frac{\partial k}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial t} = s \end{cases} \end{equation} }

Em notação vetorial, o sistema acima pode ser reescrito na forma conservativa como: , onde $$U = \begin{pmatrix}k\\s\end{pmatrix},\quad \textrm{e}\quad F(U) =\begin{pmatrix}0 & -v\\-v & 0\end{pmatrix}$$