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'''Grupo: Lucas Dória, Caetano Pires e Ânderson Rosa.'''

O objetivo deste trabalho é analisar três métodos diferentes de integração numérica para resolução de equações diferenciais parciais (EDP's). A equação aqui abordada é a equação da onda, a qual consiste em uma EDP hiperbólica de segunda ordem. Uma pequena noção dos métodos numéricos é dada, após a explicação do problema físico abordado. Os dados encontrados são comentados e comparados com os resultados esperados. Simulações também foram feitas para melhor visualização dos fenômenos. Por último, foi feita uma análise de erros e estabilidade para cada um dos métodos, assim como algumas conclusões foram inferidas.

== Introdução ==

Equações diferenciais parciais hiperbólicas geralmente podem ser formuladas a partir de teoremas de conservação. Um exemplo é a equação do tipo:

<math>\frac{\partial \vec{U}}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{F}(U) = \vec{S}(U),</math>

onde <math>\vec{U}</math> é o vetor de densidades da quantidade conservada, i.e., <math>\vec{U} = (U_1,...,U_n),</math> <math>\vec{F}</math> é o fluxo de densidade e <math>\vec{S}</math> é um termo genérico representando fontes ou sumidouros.

Uma classe especial de equações hiperbólicas são as chamadas equações de adveção, na qual a derivada temporal da quantidade conservada <math>\vec{U}(\vec{x},t)</math> é proporcional à sua derivada espacial. Nesses casos, <math>\vec{F}(U)</math> é diagonal e dada por:

<math>\vec{F}(U) = v \vec{I} \cdot \vec{U},</math>

onde <math>\vec{I}</math> é a matriz identidade.

Considerando apenas uma dimensão e com <math>\vec{U} \equiv u</math>, temos a equação de adveção:

<math>\frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} = 0,</math>

onde <math>v</math> é a velocidade de propagação do pulso gerado. A equação admite uma solução analítica da forma <math>u = f(x - vt),</math> representando um pulso se movendo na direção <math>x.</math>

A equação da onda em uma dimensão é uma EDP hiperbólica de segunda ordem dada por

<math>
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},
</math>

onde <math>u = u(x,t)</math> é o deslocamento vertical de uma posição <math>x</math> no instante <math>t</math> e admite duas soluções, representadas por pulsos, <math>f(x + vt)</math> e <math>f(x - vt).</math>

Assumindo que <math>v</math> não depende da posição na equação da onda, nos restringimos a problemas lineares. Além disso, se escrevermos

<math>
k = v \frac{\partial u}{\partial x},\qquad   s = \frac{\partial u}{\partial t},
</math>

então a equação da onda pode ser escrita como um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem:

<math>
\begin{cases}\displaystyle \frac{\partial k}{\partial t} = v\frac{\partial s}{\partial x} \\\\
\displaystyle \frac{\partial s}{\partial t} = v\frac{\partial k}{\partial x} \\\\
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = s 
\end{cases}
</math>

Em notação vetorial, o sistema acima pode ser reescrito na forma conservativa como: <math>\frac{\partial U}{\partial t}+ \frac{\partial F(U)}{\partial x} = 0, </math>

onde <math>U = \begin{pmatrix}k\\s\end{pmatrix},\quad \textrm{e}\quad F(U) =\begin{pmatrix}0 & -v\\-v & 0\end{pmatrix}</math>

==Condição CFL==

Uma condição necessária mas nem sempre suficiente para a convergência de equações diferenciais parciais resolvidas a partir de métodos de diferença, formulada por Courant, Friedrichs e Lewy em 1928 (aprender a referenciar), conhecida como condição CFL, é formulada a partir do termo de “domínio de dependência”.

Considerando, por exemplo, a equação da advecção (citar a equação da advecção) em uma aproximação a partir de métodos de diferença em sua forma explícita 

<math>\frac{U^{n+1}_i-U^n_i}{\Delta t} + v\frac{U^n_{i}-U^n_{i-1}}{\Delta x}=0,</math>

diz-se que o valor de <math>U^{n+1}_i</math> depende dos valores anteriores de <math>U^n_i</math> e <math>U^n_{i-1}</math>, e esses dois pontos dependem, novamente, de outros dois pontos em tempos anteriores. Todos esses pontos dependentes formam o domínio de dependência do valor <math>U^{n+1}_i</math>, representado abaixo (botar figura do domínio de dependência).

A condição CFL enuncia que a condição mínima para que haja estabilidade em métodos de diferenças o domínio de dependência da equação diferencia parcial, dado por sua equação característica, deve estar situado dentro do domínio de dependência do esquema numérico.

A partir dessa condição, define-se o número CFL como 

<math>r\equiv v\frac{\Delta t}{\Delta x}</math>

onde <math>\Delta t</math> é um passo na malha temporal e <math>\Delta x</math> é um passo na malha espacial. Para casos unidimensionais, como o que será tratado aqui, a condição CFL é satisfeita se r

<math> \left|r\right| \le 1 </math> 

Um uso da condição CFL é determinar o tamanho do passo temporal, sabendo-se <math>v</math> e <math>\Delta x</math>:

<math>\Delta t = c_{cfl}\frac{\Delta x}{\left|v\right|}</math>

onde o fator <math>c_{cfl}<1</math>.

O número CFL pode ser entendido como um fluxo numérico advectivo adimensionalisado pelas malhas espacial e temporal do problema. De um ponto de vista matemático, ele garante que o domínio numérico de dependência é sempre maior que o domínio físico. De um ponto de vista físico, é garantido que a velocidade de propagação de qualquer perturbação, como uma onda, seja menor ou ao menos igual que a velocidade de propagação numérica, fazendo com que a distância propagada pela perturbação não seja maior do que a divisão da malha espacial:

<math>\left|v\right|\Delta t \le \Delta x </math>

== O Problema Físico ==

===O Modelo de Corda Ideal===

Para uma primeira abordagem da equação da onda, consideramos uma corda com suas extremidades fixas. Podemos dividir o comprimento <math>L</math> dessa corda em <math>K</math> intervalos de comprimentos iguais, dessa forma <math>\Delta x = \frac{L}{K}</math>. Cada intervalo é discretizado, representado por <math>x_i</math>, <math>i=0,1,...,K</math>. Também podemos dividir o tempo em intervalos iguais <math>\Delta t</math> e denotá-los como <math>t_n</math>, <math>n =0,1...</math>.

Tendo feita a discretização das variáveis, podemos aproximar a equação da onda por diferenciação finita, utilizando derivadas centradas da seguinte forma:

<math>\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{U^{n+1}_{i}-2U^n_i+U^{n-1}_i}{\Delta t^2}</math>

<math>\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{U^{n}_{i+1}-2U^n_i+U^{n}_{i-1}}{\Delta x^2}</math>

onde <math>U_i^n</math> representa o valor discretizado de <math>u(x_i,t_n)</math>.

Assim, chegamos em uma equação discretizada:

<math>\frac{U_i^{n+1}-2U_i^n+U_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} = v^2 \frac{U_{i+1}^n-2U_i^n+U_{i-1}^n}{(\Delta x)^2}</math>. 

Sabendo que essa discretização da equação da onda pode ser verificada como sendo o método Leapfrog (ver seção do método de Leapfrog), podemos resolver a equação para <math>U_i^{n+1}</math> para sabermos o deslocamento de uma partição da corda no momento de tempo seguinte, assim obtendo

<math>U_i^{n+1} = 2(1-r^2)U_i^n + r^2[U_{i+1}^n+U_{i-1}^n]-U_i^{n-1}</math>,

onde <math>r = v \frac{\Delta t}{\Delta x}.</math>

===Um Quadro Mais Realístico - O Modelo de Corda Rígida ===

Para nos aproximarmos de um modelo mais real, podemos adicionar um termo à equação original da onda que corresponde ao efeito de fricção em uma corda. De acordo com [1], a equação da onda mais geral com efeito de fricção pode ser escrita como

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \epsilon L^2 \frac{\partial^4 u}{\partial x^4} \right),</math>

onde <math>v</math> é a velocidade transversal de propagação do pulso na corda, dada pela relação <math>v = \sqrt[]{\frac{T}{\rho}}</math> (sendo <math>T</math> a tensão na corda e <math>\rho</math> a densidade linear da mesma), <math>\epsilon</math> é um parâmetro adimensional de fricção que representa a rigidez da corda e <math>L</math> o comprimento da corda.

O parâmetro <math>\epsilon</math> é dado por

<math>\epsilon = \kappa² \frac{E S}{T L^2}</math>,

onde <math>\kappa</math> é o raio da corda, <math>E</math> é o Módulo de Young e <math>S</math> a área da secção da corda.

Discretizamos a equação da seguinte maneira:

<math>
    \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{U^{n+1}_{i}-2U^n_i+U^{n-1}_i}{\Delta t^2}</math>

<math> \frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{U^{n}_{i+1}-2U^n_i+U^{n}_{i-1}}{\Delta x^2}</math>

<math>    \frac{\partial^4u}{\partial x^4}=\frac{U^n_{i+2}-4U^n_{i+1}+6U^n_i-4U^n_{i-1}+U^n_{i-2}}{\Delta x^4}
</math>

e resolvemos para <math>U_i^{n+1}</math>, obtendo:

<math> U_i^{n+1}=[2-2r^2-6\epsilon r^2K^2]U_i^n - U_i^{n-1} +r^2[1+4\epsilon K^2][U_{i+1}^n+U_{i-1}^n]-\epsilon r^2K^2[U_{i+2}^n + U_{i-2}^n].</math>

O fato de essa discretização depender do deslocamento da corda em posições <math>i-2</math> e <math>i+2</math> implica em precisarmos simular "pontos fantasmas" quando integramos os extremos das cordas. Para fazermos isso, podemos ou utilizar a aproximação <math>U_{-1}^n = -U_{+1}^n</math> ou podemos considerar esses "pontos fantasmas" como pontos presos e, portanto, sempre iguais a zero.

== Os Métodos Utilizados ==

Foi realizada uma abordagem ao problema da corda real a partir de três métodos diferentes de integração numérica.

O método mais básico é chamado de FTCS (Forward-Time-Centered-Space) e consiste em duas expansões de Taylor ao redor do ponto <math>x_j</math>:

<math>u(x_i + \Delta x,t^n) = u(x_i,t^n) + \frac{\partial u}{\partial x}(x_i,t^n)\Delta x + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t^n)\Delta x^2 + \mathcal{O}(\Delta x^3),</math>

<math>u(x_i - \Delta x,t^n) = u(x_i,t^n) - \frac{\partial u}{\partial x}(x_i,t^n)\Delta x + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t^n)\Delta x^2 + \mathcal{O}(\Delta x^3).</math>

Subtraindo as duas expressões, encontramos a expressão

<math>\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_i^n = \frac{u^n_{i+1} - u^n_{i-1}}{2 \Delta x} + \mathcal{O}(\Delta x^2)</math>,

A qual podemos substituir na equação da onda, juntamente com a discretização da derivada parcial temporal. Temos então que, para um sistema linear de equações hiperbólicas:

<math>\textbf{U}^{n+1}_i = \textbf{U}^n_i - \frac{\Delta t}{2 \Delta x} [\textbf{F}^n_{i+1} - \textbf{F}^n_{i-1}] + \mathcal{O}(\Delta t^2, \Delta x^2 \Delta t)</math>

Visto que essa última notação é mais genérica, ela será utilizada para a explicação dos métodos posteriores.

=== O Método de Lax-Friedrichs ===

O método de Lax-Friedrichs consiste em substituir o termo <math>\textbf{U}^n_i</math> com sua respectiva média espacial, i.e., <math>U^n_i = (U^n_{i+1} + U^n_{i-1})/2</math>. Logo, temos a seguinte equação de recorrência:

<math>\textbf{U}^{n+1}_i = \frac{1}{2}(\textbf{U}^n_{i+1} + \textbf{U}^n_{i-1}) - \frac{\Delta t}{2 \Delta x} [\textbf{F}^n_{i+1} - \textbf{F}^n_{i-1}] + \mathcal{O}(\Delta x^2)</math>

=== O Método de Leapfrog ===

Tanto o método FTCS quanto o método de Lax-Friedrichs são métodos de primeira ordem para a derivada temporal. Nessas circunstâncias, <math>v \Delta t</math> deve ser significantemente menor do que <math>\Delta x</math>, muito abaixo do limite imposto pela condição de Courant.

Uma nova expressão para a derivada temporal, com precisão de segunda ordem é dada por

<math>\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|^n_i = \frac{U^{n+1}_i - U^{n-1}_i}{2 \Delta t} + \mathcal{O}(\Delta t^2).</math>

Substituindo a nova expressão acima no método de FTCS discutido anteriormente, encontramos o método de Leapfrog:

<math>\textbf{U}^{n+1}_i = \textbf{U}^{n-1}_i - \frac{\Delta t}{\Delta x} [\textbf{F}^n_{i+1} - \textbf{F}^n_{i-1}] + \mathcal{O}(\Delta x^2).</math>

Como o método de Leapfrog foi o mais aplicado na resolução do problema da onda, é interessante um aprofundamento maior do método. Podemos adaptar o método de Leapfrog para o sistema de equações definido para a equação da onda ao fazermos a discretização ao redor de um ponto qualquer <math>i</math> no instante de tempo <math>n</math>:

<math>
k_{i+\frac{1}{2}}^n \equiv v \left.\frac{\partial U}{\partial x}\right|_{i+\frac{1}{2}}^{n} = v \frac{U_{i+1}^n-U_i^n}{\Delta x} + \mathcal{O}(\Delta x) \qquad (1)
</math>

<math>
s_{i}^{n+\frac{1}{2}} \equiv \left.\frac{\partial U}{\partial t}\right|_{i}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{U_{i}^{n+1}-U_i^n}{\Delta t} + \mathcal{O}(\Delta t) \qquad (2)
</math>

Com essas discretizações, podemos utilizar as equações (1) e (2) para resolvermos para <math>k^{n+1}_{i+\frac{1}{2}}</math> apenas em termos de <math>s</math>, <math>k</math> e <math>r</math>. Fazendo as substituições dessas duas equações uma na outra, obtemos:

<math>\frac{\Delta x}{v}k^{n+1}_{i+\frac{1}{2}} = s^{n+\frac{1}{2}}_{i+1}\Delta t + \frac{\Delta x}{v}k^{n}_{i+\frac{1}{2}} + U^n_i - (s^{n+\frac{1}{2}}_i \Delta t + U^n_i)</math>

Dessa equação, chegamos a

<math>
k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1} = k_{i+\frac{1}{2}}^n+r(s_{i+1}^{n+\frac{1}{2}}-s_{i}^{n+\frac{1}{2}})+\mathcal{O}(\Delta x^2) \qquad (3)
</math>

Utilizando o mesmo raciocínio, podemos também resolver para <math>s^{n+\frac{1}{2}}_i</math> e obter

<math>
s_i^{n+\frac{1}{2}} = s_{i}^{n-\frac{1}{2}}+r(k_{i+\frac{1}{2}}^{n}-k_{i-\frac{1}{2}}^{n})+\mathcal{O}(\Delta x^2) \qquad (4)
</math>

Com essas duas equações, podemos fazer uma integração utilizando o método de Euler para obter <math>U_i^{n+1}</math>, ou seja, o deslocamento de um determinado ponto <math>i</math> da corda no próximo instante de tempo:

<math>U_i^{n+1} = U_i^n + \frac{\Delta t}{2}s_i^{n+\frac{1}{2}}+\mathcal{O}(\Delta x^2).</math>

Contudo, podemos fazer uma simples substituição das equações <math>(1)</math> e <math>(2)</math> nas equações <math>(3)</math> e <math>(4)</math> e, assim, obtemos que a representação de Leapfrog da equação da onda é dada pela discretização de segunda ordem da própria equação da onda, com <math>\mathcal{O}(\Delta t^2, \Delta x^2)</math>. Isso nos dá uma solução de "um passo", onde só precisamos efetuar o cálculo da equação discretizada pelo método da derivação finita, ou seja, para o caso da corda ideal, a equação

<math>U_i^{n+1} = 2(1-r^2)U_i^n + r^2[U_{i+1}^n+U_{i-1}^n]-U_i^{n-1}.</math>

=== O Método de Lax-Wendroff ===

O método de Lax-Wendroff é a extensão do método de Lax-Friedrichs de segunda ordem. Calculamos o vetor <math>U</math> a partir de um passo médio de Lax-Friedrichs:

<math>\textbf{U}^{n+\frac{1}{2}}_{i + \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} [\textbf{U}^n_{i+1} + \textbf{U}^n_i] - \frac{\Delta t}{2 \Delta x} [\textbf{F}^n_{i+1} - \textbf{F}^n_i] + \mathcal{O}(\Delta x^2)</math>,

<math>\textbf{U}^{n+\frac{1}{2}}_{i - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} [\textbf{U}^n_{i} + \textbf{U}^n_{i-1}] - \frac{\Delta t}{2 \Delta x} [\textbf{F}^n_{i} - \textbf{F}^n_{i-1}] + \mathcal{O}(\Delta x^2)</math>,

E encontramos os fluxos <math>\textbf{F}^{n+\frac{1}{2}}_{i \pm \frac{1}{2}}</math> a partir dos valores de <math>\textbf{U}^{n+\frac{1}{2}}_{i \pm \frac{1}{2}}.</math>

Logo, com um meio passo de Leapfrog, temos a expressão final do método:

<math>\textbf{U}^{n+1}_i = \textbf{U}^n_i - \frac{\Delta t}{\Delta x} \left[\textbf{F}^{n + \frac{1}{2}}_{i + \frac{1}{2}} - \textbf{F}^{n + \frac{1}{2}}_{i - \frac{1}{2}}\right] + \mathcal{O}(\Delta x^2)</math>

== Análise e Discussão dos Resultados ==
Escolhemos para simular quatro diferentes cordas: as cordas C2, C4 e C7 de um piano cujos dados foram obtidos no artigo sobre cordas ''Numerical simulations of piano strings'' (''Chaigne'') [3] e uma corda com dados pré-estabelecidos encontrados no livro ''Computational Physics'' escrito por ''N. J. Giordano'' [1]. Os dados das cordas C2, C4 e C7 estão na tabela abaixo.

{| class="wikitable"
|-
!
! '''C2'''
! '''C4'''
! '''C7'''
|-
| '''Comprimento''' (<math>m</math>)
| <math>1.90</math>
| <math>0.62</math>
| <math>0.09</math>
|-
| '''Massa'''(<math>g</math>)
| <math>35</math>
| <math>3.93 </math>
| <math>0.467</math>
|-
| '''Tensão''' (<math>N</math>)
| <math>750</math>
| <math>670</math>
| <math>750</math>
|-
| '''Divisões'''
| <math>100</math>
| <math>50</math>
| <math>16</math>
|-
| '''Amostragem de sinal'''
| <math>16\times10^{3}</math>
| <math>32\times10^{3}</math>
| <math>96\times10^{3}</math>
|-
|'''Parâmetro de fricção'''
| <math>7.5\times10^{-6}</math>
| <math>3.82\times10^{-5}</math>
| <math>8.67\times10^{-4}</math>
|}

Desses dados, temos que a densidade linear de massa das cordas é dada por 

<math>\rho = \frac{M}{l},</math>

onde <math>M</math> é a massa e <math>l</math> o comprimento da corda, 

<math>v = \sqrt{\frac{T}{\rho}},</math>

onde <math>T</math> é a tensão na corda, 
 
<math>\Delta x = \frac{l}{K},</math>

<math>\Delta t = \frac{1}{f_e},</math>

e 

<math>r = v\frac{\Delta t}{\Delta x}.</math>

Para a corda com dados pré-estabelecidos, utilizamos uma corda com 2 metros de comprimento, com velocidade de propagação da onda sendo 300<math>m/s</math>, <math>\Delta x</math> de 0.01<math>m</math>, <math>\Delta t = \frac{\Delta x }{4v}</math> e parâmetro de fricção de <math>7.5\times10^{-6}</math>.
Supondo a corda inicialmente em repouso, temos que em <math>t = 0</math> a corda recebe em seu centro o equivalente à batida do martelo do piano. Supomos que esse estímulo possuía o formato aproximado de uma Gaussiana com amplitude de <math>\frac{1}{4}</math> do comprimento de cada corda. Então, com o estado inicial sendo um pulso com o formato de um pacote gaussiano e os dados da tabela, simulamos a propagação de ondas em cada uma das cordas.

Utilizando o método de Leapfrog, foi realizada uma primeira simulação para uma onda ideal em uma corda:

[[File:ideal.gif|frame|none|alt=Alt text|Simulação de uma onda em uma corda ideal. A corda simulada possuía comprimento de 2 metros e a amplitude inicial do pulso gaussiano tinha amplitude de 0.5 metros. Foi utilizado uma velocidade de propagação de 300 m/s, <math>\Delta x = 0.01</math> e <math>\Delta t = \frac{\Delta x }{4v}</math>.]]

'''Corda C2:'''

[[Arquivo:C2.gif|frame|none|alt=Alt text|Simulação de uma corda C2 de um piano com os parâmetros da tabela acima.]][[Arquivo:C2foto.png|frame|none|alt=Alt text|Estado da corda C2 em diferentes instantes de tempo.]]

'''Corda C4:'''

[[Arquivo:C4.gif|frame|none|alt=Alt text|Simulação de uma corda C4 de um piano com os parâmetros da tabela acima.]]
[[Arquivo:C4foto.png|frame|none|alt=Alt text|Estado da corda C4 em diferentes instantes de tempo.]]

'''Corda C7:'''

[[Arquivo:C7.gif|frame|none|alt=Alt text|Simulação de uma corda C7 de um piano com os parâmetros da tabela acima.]]
[[Arquivo:C7foto.png|frame|none|alt=Alt text|Estado da corda C7 em diferentes instantes de tempo.]]

'''Corda com as definições do Giordano:'''

[[Arquivo:Giordano.gif|frame|none|alt=Alt text|Simulação da corda exemplificada no livro ''Computational Physics'' [1]. Os parâmetros utilizados estão descritos no texto.]]
[[Arquivo:Giordanofoto.png|frame|none|alt=Alt text|Estado da corda usada como exemplo pelo autor Giordano em diferentes instantes de tempo.]]

É possível observar que o tempo necessário para que, devido a fricção, os movimentos na corda diferenciem-se cada vez mais da solução para a corda ideal é menor para um tamanho de corda menor, ou seja, a fricção acaba sendo mais relevante mais rapidamente em cordas mais curtas.

== Análise de Erro e Estabilidade dos Métodos ==

=== Estabilidade do método Leapfrog ===
Pela estabilidade de Von Neumann, podemos escrever que 

<math>
r \leq 1.
</math>

Para <math>r = 1</math>, a equação da discretização da onda pode ser reescrita como

<math>U_i^{n+1} = U_{i+1}^n+U_{i-1}^n-U_i^{n-1}.</math>

Essa escolha com 

<math>\frac{\Delta x}{\Delta t} = v</math>

nos dá a solução exata sem dispersão numérica, como pode ser verificado pela condição CFL. Contudo, <math>r=1</math> é válido somente no caso de uma corda ideal.
É conveniente escrever a condição acima em termos da amostragem de sinal <math>f_e = \frac{1}{\Delta t}</math> e a frequência fundamental da corda <math>f_1 = \frac{v}{2L}</math>, o que nos leva a

<math>
Kf_1 \leq \frac{f_e}{2}
</math>

O teorema de Nyquist diz que a frequência superior no espectro deve ser menor do que <math>\frac{f_e}{2}</math> para evitar serrilhamento e para garantir uma reconstrução única e contínua. Logo, no caso ideal quando as autofrequências da corda são igualmente espaçadas (<math>\Delta f = f_1</math>), a condição de Nyquist indica que o número máximo de frequências no espectro é <math>K</math>. Isso significa que essa condição pode ser usada para selecionar o número apropriado de pontos espaciais <math>K</math> para a corda. Entretanto, como <math>K</math> é um inteiro, apenas valores discretos da frequência natural podem ser obtidos sem erros de trucamento, ou seja, usando <math>r = 1</math>. Como series discretas não costumam ser utilizadas, precisamos aceitar pequenos erros de truncamento para ajustar <math>f_1</math>, ou seja, utilizando <math>r < 1</math>. No caso de uma onda com fricção, temos que <math>r=\frac{1}{4}</math> é um valor de boa estabilidade.

== Conclusões (?) ==

== Referências Bibliográficas==
[1] N. J. Giordano, "Computational Physics". Department of Physics, Purdue University. Upper Saddle River, New Jersey. Prentice-Hall, 1997.

[2] Luciano Rezzolla, "Numerical Methods for the Solution of Partial Differential Equations". Albert Einstein Institute, Max-Planck-Institute for Gravitational Physics, Potsdam, Germany.

[3] Antoine Chaign, Anders Askenfelt, "Numerical simulations of piano strings. I. A physical model for a struck string using finite difference methods". Signal Department, Paris, France. Department of Speech Communication and Music Acoustics; Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden.