Mudanças entre as edições de "Grupo2 - Ondas1"
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| Linha 69: | Linha 69: | ||
Para u temos | Para u temos | ||
| − | <math> v_{j}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{\partial u}{\partial t} \Big|_{j}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{ u_{j}^{n+ | + | <math> v_{j}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{\partial u}{\partial t} \Big|_{j}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{ u_{j}^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} </math>, |
| − | <math> u_{j}^{n+ | + | <math> u_{j}^{n+1} = u_j^n + v_{j}^{n+\frac{1}{2}} \Delta t</math>, |
Juntando todas elas temos | Juntando todas elas temos | ||
Edição das 00h47min de 24 de outubro de 2017
Índice
Introdução
A modelagem numérica vem se tornando cada vez mais uma ferramenta indispensável para um engenheiro. Tal modelagem pode trazer informações importantes para entender como melhor abordar o desenvolvimento de um projeto, neste caso, um que envolva ondas. Nós, como futuros engenheiros físicos, pensamos em trazer um problema mais "concreto", de engenharia costeira e portuária, que pode ou não surgir em nossas vidas profissionais mas cujo método de solução certamente estará presente. Aqui será apresentado um modelo baseado em uma condição inicial e um perfil topográfico do local estudado que descreve a evolução temporal de uma onda.
Para testarmos os diferentes métodos, utilizaremos a equação da onda em uma dimensão, que é uma equação diferencial parcial de segunda ordem, para modelarmos uma corda:
em que 
é o deslocamento vertical da corda e 
, com 
o comprimento da corda.
Admitindo 
,
.
Uma vez que os métodos citados abaixo são para equações de primeira ordem, é necessário separarmos a equação em um sistema de equações, fazendo a substituição 
e 
:
As condições de contorno são 
(pontas fixas), e as condições iniciais são 
e 
Algoritmos
Apresentaremos aqui três abordagens diferentes para a solução da equação diferencial parcial apresentada, e após, seus respectivos erros associados. A respeito das discretizações, 
corresponde à posição, e 
representa o tempo.
Método de Lax-Friedrichs
Esse método consiste em discretizar as equações no esquema FTCS, ou seja
,
,
Entretanto, para tornarmos o método estável, é necessário trocarmos os termos 
e 
por sua média espacial
,
,
,
Agora vamos unir todas as equações, para que no programa possamos iterar apenas uma equação ao invés de três.
.
Método de Leapfrog
Neste método utilizamos os pontos intermediários da discretização. Para v temos
,
,
Para w temos
,
,
Para u temos
,
,
Juntando todas elas temos
,
Método de Lax-Wendroff de Dois Passos
,
,
Para w resulta em:
,
Agora encontraremos a equação para v:
,
Sendo que:
,
,
Para v resulta em:
,
E finalmente temos a equação unificada das outras em u:
,
Análise de erros e estabilidade
A análise de erros se torna mais evidente durante a escolha do parâmetro 
, onde 
. Valores grandes trazem pouca acurácia, e valores pequenos necessitam de muito poder de computação (tempo e dinheiro). Trazemos problemas mais simplificados como um "guia" de escolha do parâmetro.
A partir do cálulo da solução analítica da equação da onda, podemos calcular quanto o valor obtido pelos métodos difere da solução real, o que leva a uma visualização do erro corrente em cada método de integração.
Podemos observar a ordem com que os erros crescem à medida que o parâmetro k se torna maior. Lembrando que os valores da constante são determinados pela discretização do espaço e do tempo.
Simulação de Propagação de Onda 2D Dependente de Topografia
O modelo mais simples parte da equação da onda [1], acrescentando o termo 
.
,
Sendo uma representação da profundidade em águas calmas. Em uma situação real, pode-se obtê-la por mapeamento eletrônico do terreno por sistema de sonar.
Como primeira abordagem visando uma análise em 2D, a integração da equação em 1D (mesmo sendo uma situação muito idealizada) já traz resultados interessantes. Podemos observar, por exemplo, que a amplitude da onda cresce perto da costa. Esta informação por si só ajuda na construção de proteção contra quebra de ondas, pois é obtido o tamanho que as mesmas atingem.
É importante notar o quão poderosa é a integração de equações parciais na vida de um engenheiro.
A dependência em 
de permite um modelo no qual o terreno se modifica com o tempo. Isto é, pode-se observar o efeito que o deslocamento de placas tectônicas, deslizamentos, e até explosões provocam no comportamento das ondas na costa de um país e o reconhecimento de áreas críticas.
Estendendo o algoritmo do Leap-Frog à situação 2D, obtemos, para uma dada condição inicial e 
, onde 
é uma constante:
Podemos então, analisar como a mesma condição inicial se porta quando descreve uma gaussiana na origem:
Bibliografia
1"The Wave Equation in 1D and 2D," por Knut–Andreas Lie, Dept. of Informatics, University of Oslo; disponível em: [1]; Último acesso em 23/10/2017.
2"Digital terrain mapping of the underside of sea ice from a small AUV," por Wadhams, M. J. Doble; disponível em: DOI: 10.1029/2007GL031921 ; Último acesso em 23/10/2017.
2 Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
