Mudanças entre as edições de "Grupo2 - Ondas1"

De Física Computacional
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(Método de Lax-Wendroff de Dois Passos)
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A modelagem numérica vem se tornando cada vez mais uma ferramenta indispensável para um engenheiro. Tal modelagem pode trazer informações importantes para entender como melhor abordar o desenvolvimento de um projeto. Neste caso, um projeto que envolva ondas. Nós, como futuros engenheiros físicos, pensamos em trazer um problema mais "concreto", de engenharia costeira e portuária, que pode ou não surgir em nossas vidas profissionais mas cujo método de solução certamente estará presente.  
 
A modelagem numérica vem se tornando cada vez mais uma ferramenta indispensável para um engenheiro. Tal modelagem pode trazer informações importantes para entender como melhor abordar o desenvolvimento de um projeto. Neste caso, um projeto que envolva ondas. Nós, como futuros engenheiros físicos, pensamos em trazer um problema mais "concreto", de engenharia costeira e portuária, que pode ou não surgir em nossas vidas profissionais mas cujo método de solução certamente estará presente.  
 
Aqui será apresentado um modelo baseado em uma condição inicial e um perfil topográfico do local estudado que descreve a evolução temporal de uma onda.
 
Aqui será apresentado um modelo baseado em uma condição inicial e um perfil topográfico do local estudado que descreve a evolução temporal de uma onda.
   
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Nos métodos a seguir faremos a seguinte separação na equação da onda que é uma equação EDP de segunda ordem:
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<math> \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} </math>
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Admitindo <math>c=1</math>:
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<math> \frac{\partial}{\partial t} \Big( \frac{\partial u}{\partial t} \Big)  =  \frac{\partial}{\partial x} \Big( \frac{\partial u}{\partial x} \Big)  </math>
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Chamaremos:
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<math> v=\frac{\partial u}{\partial t} </math>
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E:
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<math> w= \frac{\partial u}{\partial x} </math>
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Assim podemos escrever a equação pelo sistema de equaçoes de primeira ordem:
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<math>\left\{
 +
\begin{array}{cc}
 +
\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial x}
 +
\\
 +
\\
 +
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial t}  \\
 +
\\
 +
v=\frac{\partial u}{\partial t}
 +
\end{array}\right.</math>
 +
 
 
==Algoritmos==
 
==Algoritmos==
  

Edição das 23h17min de 23 de outubro de 2017

Introdução

A modelagem numérica vem se tornando cada vez mais uma ferramenta indispensável para um engenheiro. Tal modelagem pode trazer informações importantes para entender como melhor abordar o desenvolvimento de um projeto. Neste caso, um projeto que envolva ondas. Nós, como futuros engenheiros físicos, pensamos em trazer um problema mais "concreto", de engenharia costeira e portuária, que pode ou não surgir em nossas vidas profissionais mas cujo método de solução certamente estará presente. Aqui será apresentado um modelo baseado em uma condição inicial e um perfil topográfico do local estudado que descreve a evolução temporal de uma onda.

Nos métodos a seguir faremos a seguinte separação na equação da onda que é uma equação EDP de segunda ordem:

Admitindo :

Chamaremos:

E:

Assim podemos escrever a equação pelo sistema de equaçoes de primeira ordem:

Algoritmos

Apresentaremos aqui três abordagens diferentes para a solução da equação diferencial parcial apresentada, e após, seus respectivos erros associados.

Método de Lax-Friedrichs

Temos:


Aqui agora vamos unir todas as equações para que no programa possamos iterar apenas uma equação ao invés de 3.


Leap-Frog

Para v temos:

Para w temos:

Para u temos:

Método de Lax-Wendroff de Dois Passos

Juntando para w:

Análise de erros e estabilidade

A análise de erros se torna mais evidente durante a escolha do parâmetro k, onde k = dt/dx. Valores grandes trazem pouca acurácia, e valores pequenos necessitam de muito poder de computação (tempo e dinheiro). Trazemos problemas mais simplificados como um "guia" de escolha do parâmetro.

A partir do cálulo da solução analítica da equação da onda, podemos calcular quanto o valor obtido pelos métodos difere da solução real, o que leva a uma visualização do erro corrente em cada método de integração.

  • GRAFICO ERROS X K*

Podemos observar a ordem com que os erros crescem à medida que o parâmetro k se torna maior. Lembrando que os valores da constante são determinados pela discretização do espaço e do tempo.

  • GRAFICO DAS ENERGIA X T*


Simulação de Propagação de Onda 2D Dependente de Topografia

O modelo mais simples parte da equação da onda [1], acrescentando o termo .

  • EQUAÇÃO*,

Sendo uma representação da profundidade em águas calmas. Em uma situação real, pode-se obtê-la por mapeamento eletrônico do terreno por sistema de sonar.

Exemplo de mapeamento de terreno sub - calota polar feito por AUV (autonomous underwater vehicle)

Como primeira abordagem , a integração da equação em 1D (mesmo sendo uma situação muito idealizada) já traz resultados interessantes. Podemos observar, por exemplo, que a amplitude da onda cresce perto da costa. Esta informação por si só ajuda na construção de proteção contra quebra de ondas, pois é obtido o tamanho que as mesmas atingem.

Simulação em 1D de ondas perto da margem

É importante notar o quão poderosa é a integração de equações parciais na vida de um engenheiro.

A dependencia em de permite um modelo no qual o terreno se modifica com o tempo. Isto é, pode-se observar o efeito que o deslocamento de placas tectônicas, deslizamentos, e até explosões provocam no comportamento das ondas na costa de um país e o reconhecimento de áreas críticas.

Bibliografia

1"The Wave Equation in 1D and 2D," por Knut–Andreas Lie, Dept. of Informatics, University of Oslo; disponível em: [1]; Último acesso em 23/10/2017.

2"Digital terrain mapping of the underside of sea ice from a small AUV," por Wadhams, M. J. Doble; disponível em: DOI: 10.1029/2007GL031921 ; Último acesso em 23/10/2017.